Počítání mezi Eufratem a Tigridem (2): Jak mezopotámští matematici řešili rovnice

Ve většině mezopotamských úloh nalézáme, stejně jako u rovnic lineárních, geometrickou terminologii. Neznámé veličiny byly označovány jako délka a šířka, jejich součiny jako plocha. Někdy však byly termíny převzaty i z oblasti aritmetických operací (dělenec a dělitel, násobenec a násobitel atd.). Poznamenejme, že se počtáři netrápili dodržováním tzv. zákona homogenity, tj. sčítali bez zábran objem s obsahem a délkami, obsah s délkami apod.

Sdílet

O mezopotámské matematice, tentokrát s důrazem na konkrétní příklady výpočtů. Na naše otázky odpovídá RNDr. Martina Bečvářová, Ph.D., odborná asistentka katedry aplikované matematiky Fakulty dopravní ČVUT v Praze, která se věnuje historii matematiky.
(pokračování 1. dílu, viz http://www.scienceworld.cz/sw.nsf/ID/A49B8F1B5CB848EBC1257120005290B0)

Jaký byl vliv mezopotamského zápisu čísel na rozvoj evropské matematiky?

Mezopotamský objev pozičního zápisu čísel neměl téměř žádný vliv na rozvoj evropské matematiky. Řekové i Římané používali nepoziční desítkový alfabetní zápis čísel, který nulu nepotřeboval. Od 9. století př. n. l. začali Řekové používat písmo vzniklé ze znaků fénické abecedy, objevily se i symboly pro psaní čísel. V nejstarší, tzv. hérodiánské symbolice byly používány speciální znaky pro 1, 5, 10, 100, 1 000 a 10 000. Zápis čísel byl nepoziční, aditivní a nepotřeboval žádný znak pro nulu. Od 7. století př. n. l. se v Řecku rozšířil tzv. jónský zápis čísel, v němž byla čísla zapisována pomocí písmen, nad nimiž se udělala vodorovná čára, aby byl zápis čísla a slova snadno a rychle rozlišitelný. Pomocí 27 znaků alfabety (24 běžných písmen, jedno speciální a dvě zastaralá) bylo možno pohodlně zapsat čísla od 1 do 999. Tisíce se zapisovaly jako jednotky jen s čárkou před písmenem. Tak například zápis ,δτκα znamená 4 321. Později se začala pro 10 000 používat tzv. myriada. Například číslo 54 321 bylo zapsáno Mε,δτκα. Tento způsob zápisu byl snadný a pohodlný. Vzhledem k tomu, že se základní aritmetické operace prováděly na počítací desce (abaku) a ne písemně, a protože byly při výpočtech zapisovány jen výsledky či mezivýsledky, nebyl řecký nepoziční alfabetní systém nahrazen systémem pozičním. Zdůrazněme, že v řeckém zápisu nebylo nuly zapotřebí.
Řecký zápis byl později vytlačen zápisem římským. V římském světě byla čísla rovněž zapisována nepozičním alfabetním způsobem, který je nám dodnes blízký: I, II, III, IV, V, VI, …, X, …, L, …, C, …, D, …, M. Ani tento typ zápisu nulu nepotřeboval, a to ani pro zápis, ani pro výpočty, které byly prováděny na upraveném řeckém abaku. Po pádu římské říše převzala tento zápis čísel tehdejší vzdělaná Evropa. Užíváme jej dodnes, když označujeme kapitoly, díly, čísla zákonů, setkáváme se s ním na ciferníku některých hodin atd. Poziční desítkový systém se poprvé v Evropě objevil v 10. století našeho letopočtu, šířit se však začal až od 13. století. Velmi pomalu a nesměle pronikal do Evropy z arabského světa, který ho převzal od indických počtářů. Je možné, že indičtí počtáři znalost nuly získali od mezopotamských matematiků, přesvědčivé doklady však o tom nemáme. Většina historiků matematiky se dnes spíše kloní k názoru, že nula byla indickými matematiky objevena nezávisle. Zájemcům o historii zápisu čísel, o vývoj matematiky a jejího vyučování pojatý v širokém historickém kontextu v Evropě raného a vrcholného středověku doporučuji knihu J. Bečváře a kol.: Matematika ve středověké Evropě (Prometheus, Praha, 2001).

Zůstalo nám něco z mezopotamského zápisu čísel?

Ale jistě. Do současné doby měříme v šedesátkové soustavě úhly a čas. Rozdělení kruhu na 360 stupňů, dne na 24 hodin, hodiny na 60 minut a minuty na 60 sekund má mezopotamský původ.

Má mezopotamský číselný systém nějaké výhody?

Číselný systém o základu 60 je v určitém smyslu výhodnější než náš desítkový systém, neboť šedesátka má podstatně více dělitelů než desítka. V šedesátkovém systému se lépe dělí, protože více čísel má „konečnou“ převrácenou hodnotu.

Například:
1/2 = 0,5 je v mezopotamském zápisu (0;30),
1/3 = 0,33… je v mezopotamském zápisu (0;20),
1/4 = 0,25 je v mezopotamském zápisu (0;15),
1/5 = 0,2 je v mezopotamském zápisu (0;12),
1/6 = 0,166… je v mezopotamském zápisu (0;10),
1/7 = 0,142857… nemá v mezopotamském zápisu konečný šedesátinný rozvoj (obvykle nebyla tato hodnota stanována, v náročných příkladech byla odhadována přibližně),
1/8 = 0,125 je v mezopotamském zápisu (0;7,30),
1/9 = 0,11… je v mezopotamském zápisu (0;6,40),
1/10 = 0,1 je v mezopotamském zápisu (0;6).
Jak vidno, problémy byly jen s 1/7.

Rozvíjela se mezopotamská matematika kontinuálně, nebo v ní můžeme najít různé momenty zvratů či "revolucí"?

Mezopotamská matematika se výrazně rozvíjela ve 3. tisíciletí a v 1. polovině tisíciletí 2., kdy patrně dosáhla svého vrcholu. Z období 2200 až 1800 máme rozluštěné velké množství matematických tabulek, které ukazují pokročilý stupeň rozvoje mezopotamské algebry i geometrie. V té době byly objeveny důležité algoritmy pro řešení rozmanitých úloh algebry a geometrie. Matematika byla schopna odpovědět na všechny požadavky tehdejší civilizace a navíc vytvořila řadu problémů „rekreačního charakteru“, na nichž byly procvičovány matematické schopnosti. Pro její další rozvoj patrně chyběly silnější podněty.
Z dalšího období se takřka nezachovaly žádné matematické tabulky, a tudíž nelze provádět odpovědnou analýzu tehdejšího rozvoje matematiky.
Z období 8. století až 2. století máme opět řadu zachovaných a přeložených matematických textů. Obsahují podobné či stejné úlohy jako tabulky ze začátku 2. tisíciletí a stejné jsou i metody jejich řešení. Matematika tedy neučinila žádný výraznější pokrok, jenom si udržovala dosaženou úroveň. Proč tomu tak bylo, je velmi obtížné říci. Teprve výzkum matematických tabulek z druhé poloviny 2. tisíciletí a z první poloviny 1. tisíciletí by mohl mnohé objasnit. Zcela samostatnou kapitolou jsou astronomické tabulky chaldejských počtářů, které svědčí o jejich nevšedních početních znalostech a dovednostech.

Jaké jsou tedy matematické výsledky mezopotamských počtářů?

Základní matematické operace (sčítání, odčítání, násobení, dělení) nečinily dobrým počtářům problémy. K násobení používali důmyslné komplety tabulek. Dělení převáděli na násobení převrácenou hodnotou, stanovení převrácené hodnoty jim opět umožňovaly tabulky. Při řešení úloh pracovali s přirozenými čísly, s kladnými šedesátinnými zlomky a s aproximacemi některých iracionálních čísel. Nepočítali s čísly iracionálními a zápornými. Řešení hledali pouze v oboru přirozených čísel a kladných šedesátinných zlomků.
V algebře počtáři řešili úlohy, které dnes vedou na rovnice lineární, kvadratické, kubické a bikvadratické i jejich soustavy. Objevily se dokonce úlohy vedoucí na rovnice osmého stupně, které nemají žádnou rozumnou aplikaci v tehdejší technické praxi. Byly patrně určeny na procvičování početních dovedností, podobně jako řada úloh ze současných středoškolských a vysokoškolských učebnic. Ve většině mezopotamských úloh nalézáme, stejně jako u rovnic lineárních, geometrickou terminologii. Neznámé veličiny byly označovány jako délka a šířka, jejich součiny jako plocha. Někdy však byly termíny převzaty i z oblasti aritmetických operací (dělenec a dělitel, násobenec a násobitel atd.). Poznamenejme, že se počtáři netrápili dodržováním tzv. zákona homogenity, tj. sčítali bez zábran objem s obsahem a délkami, obsah s délkami apod. Jednotlivé metody předváděli na konkrétních číselných příkladech, popisovali je slovně, neboť jim chyběla propracovaná symbolika. (Systematické použití symboliky v matematice je záležitostí až novověké Evropy.) Z řady dochovaných matematických tabulek je však patrné, že kdyby měli symboliku, dospěli by k obecnému vyjádření algoritmů.

Jak byly řečeny jednotlivé rovnice?

Úlohy vedoucí na lineární rovnice řešili mezopotamští počtáři metodou přímého dělení nebo metodou chybného předpokladu, která mnohdy umožňovala vyhnout se nepříjemnému dělení.
Úlohy vedoucí na kvadratické rovnice upravovali s použitím substitucí na tzv. kanonické tvary, jejichž postupy řešení měli naučené. Substituce jim umožňovaly doplnění na tzv. úplný čtverec a snadné odmocnění. Použití substitucí a různých identit je opět jeden z objevů mezopotamských počtářů. Při řešení úloh vedoucích na kvadratické rovnice museli mezopotamští počtáři zvládnout operace se známými i neznámými veličinami. Museli si dobře osvojit i poznatky, které dnes symbolicky zapisujeme vztahy

(a ± b) na 2 = a na 2 ± 2ab + b na 2,
(a – b)(a + b) = a na 2 – b na 2.

Vytvoření metodiky řešení úloh vedoucích na kvadratické rovnice znamenalo novou etapu rozvoje matematiky; dokládá jednak vysokou úroveň matematického myšlení, jednak počátky algebry. Poznamenejme ještě, že mezopotamští matematici nikdy nedospěli k obecnému algoritmu pro řešení kvadratické rovnice tvaru ax na 2 + bx + c = 0, který odpovídá našemu známému vzorci

x1,2 = (-b±√ (b na 2-4ac))/2a.

Bylo to tím, že kořeny rovnice mohla být pouze kladná čísla. Z této omezující podmínky vyplynula nutnost klasifikace kvadratických rovnic na výše zmíněné kanonické tvary a rozpracování metod jejich řešení:

1. Kvadratická rovnice typu x2=q.

Nejjednodušším typem kvadratické rovnice byla rovnice x na 2=q, kde q bylo dané přirozené číslo, šedesátinný zlomek nebo smíšené číslo. Tato rovnice se objevovala zejména v příkladech procvičujících Pythagorovu větu. Její řešení bylo vyhledáno v tabulkách čtverců nebo v tabulkách odmocnin, případně byla druhá odmocnina čísla q vypočítána.
Příklady tohoto typu jsou obyčejně formulovány velmi stručně.

Co musíme násobit mezi sebou, aby …?,
Jaký je kvadratický kořen ... ?

Hned za těmito slovy následuje odpověď.

2. Kvadratická rovnice typu x na 2+q=px.

Tuto rovnici lze považovat za první skutečnou kvadratickou rovnici, s níž se mezopotamská matematika potýkala. Úlohy, které na tuto kvadratickou rovnici vedou, byly většinou formulovány jinak; v naší symbolice je lze zapsat soustavou dvou rovnic o dvou neznámých:

x + y = p,
xy = q,

kde x>y jsou hledaná kladná čísla a p, q jsou přirozená čísla, šedesátinné zlomky nebo čísla smíšená.
Výše uvedenou soustavu dvou rovnic můžeme označit za první kanonický tvar; na který byly převáděny složitější úlohy. Dosadíme-li z první rovnice za y do druhé, obdržíme kvadratickou rovnici x na 2 + q = px.
Ukažme nyní metodu řešení úlohy prvního kanonického tvaru na příkladu, který lze nalézt na tabulce AO 6484.

Dělenec a dělitel je (2;0,0,33,20). Dělenec a dělitel, totiž (2;0,0,33,20), s (0;30) násob. To dá (1;0,0,16,40).

(1;0,0,16,40) s (1;0,0,16,40) násob. To dá (1;0,0,33,20,4,37,46,40). (1) odečti z toho. Zůstane nazpět (0;0,0,33,20,4,37,46,40). Co se má samo sebou násobit, aby to dalo (0;0,0,33,20,4,37,46,40)? (0;0,44,43,20) s (0;0,44,43,20) násobeno dá (0;0,0,33,20,4,37,46,40). (0;0,44,43,20) k (1;0,0,16,40) přidej. To dá (1;0,45). (0;0,44,43,20) od (1;0,0,16,40) odeber. To dá (0;59,15,33,20) jako dělitel.

(Poznámka: Příklad z tabulky AO 6484, tabulka pochází z období Seleukovců (cca 4.-2. století př. n. l.), nalezena byla ve Warce, dnes je uložena v Louvru. Nuly, středníky a čárky zde byly doplněny pro lepší porozumění textu, v originálu nebyly řády vyznačeny.)

Přepíšeme-li zadání v naší symbolice, dostaneme soustavu dvou rovnic

x + y = (2;0,0,33,20) ,
xy = (1).

Projdeme-li si text řešení a pečlivě promyslíme jednotlivé kroky, zjistíme, že mezopotamský výpočet přesně odpovídá našemu postupu.
Příklady, kde q je různé od (1), jsou řešeny pomocí substituce. Místo dvou neznámých
x a y je zavedena nová neznámá z,

x = p/2 + z,
y = p/2 – z.

Dosadíme-li za x a y do druhé rovnice soustavy, získáme vztah

xy = (p/2 + z) (p/2 – z) = p na 2 – z na 2 = q,

odtud

z na 2 = (p/2) na 2 – q.

Odmocněním získáme z a pak již snadno vypočteme neznámé x a y.
Podobné substituce byly používány i pro řešení rovnic x na 2 = px + q a x na 2 + px = q. Uveďme pro zajímavost dva příklady, které necháme laskavému čtenáři k rozluštění.

Kvadratická rovnice typu x na 2 = px + q.

Dělenec přesahuje dělitele o (7). Jaké jsou?

Ty: rozpul (7), o co dělenec přesahuje dělitele, výsledek je (3;30). Násob (3;30) s (3;30). Výsledek je (12;15). K (12;15), které jsi obdržel, přidej (1,0), součin. Výsledek je (1,12;15). Jaký je kořen z (1,12;15)? Odpověď: (8;30). Polož pryč (8;30) a (8;30) je rovno. Pak odečti (3;30) od jednoho, a přičti ke druhému. Jedno je (12), druhé je (5). (12) je dělenec, (5) je dělitel.

(Poznámka: Příklad z tabulky YBC 6967, tabulka pochází ze starobabylónského období (cca 18.-16. století př. n. l.), dnes je uložena na Yale University v USA)

Kvadratická rovnice typu x na 2 + px = q.

Délka, šířka. Délku a šířku jsem vynásobil a vznikla plocha. Dále to, oč je délka větší než šířka, jsem vynásobil součtem délky a šířky. K tomu přidal jsem plochu. Obdržel jsem (1,13,20). Dále jsem sečetl délku a šířku. Dostal jsem (1,40).

(1,40) (1,13,20) součet
(1,0) délka
(40) šířka (40) plocha

Ty svým způsobem: (1,40), součet délky a šířky, vynásob (1,40). (2,46,40). Od (2,46,40) odejmi (1,13,20), plocha. Zde jsi určil. Polovinu součtu (1,40) odlom. (50) krát (50) je (41,40). K (1,33,20) přidej. (2,15,0) má kořen (1,30). (1,40) minus co dá (1,30)? To je (10). (10) přidej k (50). (1,0) je délka. (10) odejmi od (50). (40) je šířka...

(Poznámka: Příklad z tabulky AO 8862; tabulka pochází ze starobabylónského období, byla nalezena v Senkereh (Susa), dnes je uložena v Louvru.)

Z kubických rovnic uměli mezopotamští počtáři vyřešit jen některé, a to ty, které se daly upravit na lineární či kvadratické rovnice, a ty, které se daly převést na tvar, kdy byl dán součet třetí a druhé mocniny neznámé (pro ně byly sestaveny speciální tabulky). Obecné kubické rovnice řešit neuměli. Fascinující jsou mezopotamské aproximační metody pro výpočet druhých a třetích odmocnin přirozených čísel, tabulky tzv. technických koeficientů souvisejících se stavbami nejrůznějších náspů, zdí, opevnění, kanálů apod. Zajímavé jsou rovněž tabulky uvádějící obsahy pravidelných n-úhelníků s jednotkovou stranou, tabulky převrácených hodnot, druhých a třetích odmocnin atd. Například v době vlády Chammurabiho byla druhá odmocnina ze dvou vypočtena (v našem pojetí) s přesností na 5 desetinných míst! To ukazuje obrovskou početní zručnost mezopotamských počtářů. A zároveň to dokumentuje touhu po co nejpřesnějším výpočtu, který jde výrazně za hranice praktického použití.

Jaké důvody je k tomu vedly? Mělo to nějaký náboženský či mystický motiv nebo je to jen normální hravost?

Je to asi přirozená touha matematiků vedoucí k prokázání účinnosti aparátu, který mají k dispozici. Dnes jsme např. svědky počítačových výpočtů čísla Pí na miliony desetinných míst. Patrně tedy šlo o snahu překročit hranici dosaženou předchůdci, prokázat své možnosti, své počtářské umění, získat obdiv současníků a snad i slávu a peníze. A následně naučit dobře počítat své žáky.

"Tabulka 50" pochazi z poloviny 3. tisicileti, nalezana byla v Shuruppaku (udoli Eufratu jizne od Bagdadu), dnes je ulozena v muzeu v Istanbulu. Je na ni text a reseni ulohy: Ma se rozdelit zname mnozstvi obili (sypka) mezi neznamy pocet muzu tak, aby kazdy dostal 7 sila obili.
Na tabulce je
164 571=4x36 000 + 5x3 600 + 4x600 + 2x60 + 5x10 + 1x1
1 sypka je 2400 gur
1 gur je 480 sila
Jedna sypka je tedy 2400 x 480, tj. 1 152 000 sila. Vysledek uvedeny na tabulce ziskame, kdyz 1152000 vydelime 7 (zbytek je 3 sila). Vysledek je spravny, vypocet chybi.
Leva cast tabulky je zapis ulohy, je tam snadno identifikovatelna 1 sypka a 7 sila, v prave casti tabulky je cislo 164571 a dole je zapsan zbytek 3.

dokočení (mezopotámská geometrie, otázky kolem Pythagorovy věty) viz zde:
http://www.scienceworld.cz/sw.nsf/ID/E4791E281AF23D66C125712000551090

autor Pavel Houser