Student World

***pravidelné páteční „přetištění“ staršího článku

Podle zásady, že by autor knihy měl odložit na co možná nejpozdější dobu uvedení čehokoli, co by mohlo uvést čtenáře v zoufalství, jsem při číslování sedmi problémů tisíciletí při psaní této knihy nechal Hodgeovu domněnku na konec. Ve skutečnosti mé pořadí problémů nesouhlasí s tím, jak je uspořádal Clayův ústav. Jejich pořadí bylo založeno na délce názvu, začínalo nejkratším (problém P versus NP) a končilo nejdelším (Birchova a Swinnerton–Dyerova domněnka), takže celý seznam působil na původním oznamovacím plakátě přitažlivým dojmem vánočního stromečku:

P versus NP
Hodgeova domněnka
Riemannova hypotéza
Poincarého domněnka
Yangovy–Millsovy hmotnostní rozdíly
Navierova–Stokesova existence a hladkost
Birchova a Swinnerton–Dyerova domněnka

Zvolil jsem jiné pořadí, a to ze dvou důvodů. Za prvé jsem chtěl, aby závěrečné kapitoly mohly využívat dříve uvedeného materiálu. Druhým důvodem byla snaha, aby problémy obtížnější na pochopení přišly na řadu později. (Je prakticky nemožné říci, který z problémů bude těžší vyřešit. Všech sedm se jich dostalo na seznam právě proto, že jsou obecně uznávané jako jedny z nejtěžších existujících nevyřešených otázek.)

Takže jestliže jste sami se sebou spokojeni díky tomu, že jste se prokousali až sem a po přečtení následující stránky nebo dvou se vám náhle dostaví depresivní pocit, že ničemu nerozumíte, pak prosím nepropadejte zoufalství. Ve skutečnosti — a toto není věc, kterou bych říkal často — bude-li pro vás výklad příliš těžký, pak bude možná nejrozumnější jej vzdát. Hodgeova domněnka, kterou formuloval v padesátých letech dvacátého století britský matematik sir William Vallance Douglas Hodge, je ze všech problémů tisíciletí bezpochyby ten nejnepřístupnější. Jako autora snažícího se vysvětlit problémy milénia čtenáři, který není matematikem, mě tento problém potrápil zdaleka nejvíc. Jde o vysoce technickou otázku, zahrabanou v hlubokém lese vysoce abstraktní pokročilé matematiky srozumitelné jen velmi malému počtu profesionálů. Zabývá se objekty, které jsou na hony vzdáleny jakékoli představě byť i odborníků, takže nejenže neexistují žádné sázkařské kurzy na to, jestli bude domněnka prokázána nebo vyvrácena, neexistuje ale dokonce ani shoda v tom, co vlastně tato domněnka ve skutečnosti říká.

Nevěříte mi, když pravím, že Hodgeova domněnka je daleko horší než kterýkoli z ostatních šesti problémů? Dobrá, zformulujme ji tedy:

Každá harmonická diferenciální forma (jistého typu) nesingulární projektivní algebraické variety je racionální kombinací kohomologických tříd algebraických cyklů.

Každý, kdo porozuměl alespoň jednomu z technických výrazů v uvedené větě se může postavit do čela třídy.

Dobrá, to bylo trochu nefér. Stejného pocitu hrůzného ohromení jsem mohl dosáhnout formulací kteréhokoli z ostatních šesti problémů, kdybych jej byl hned na začátku příslušné kapitoly uvedl v jeho technické podobě. Potíž u tohoto problému ale spočívá v tom, že je prakticky nemožné vysvětlit, co kterýkoli z oněch technických výrazů znamená.

Přiznávám, že věci začaly vypadat hrozivě už u Birchovy a Swinnerton–Dyerovy domněnky v předcházející kapitole. Tam jsem však měl alespoň možnost problém ilustrovat na jednoduché geometrické úloze. Takže i když se vám možná (jako asi většině čtenářů, jak se domnívám) zdál výklad trochu drsný — možná jste jej dokonce vzdali — měli jste minimálně možnost porozumět počátečnímu přístupu k problému. Mohli jste si třeba říci, že domněnka je obecnější verzí problému s trojúhelníkem daného obsahu, která vzniká, když tento problém zformulujeme v řeči algebraických rovnic a pak se podíváme na rovnice, které mají stejnou obecnou formu. Rozumíte-li věci takto, pořád jste sice ještě dost daleko od toho, jak ji chápe odborník, ale obecný dojem, který získáte, je správný.

U Hodgeovy domněnky ovšem žádná podobná cestička neexistuje, a to ani ke vstupní bráně do problému. Zatímco Birchova a Swinnerton–Dyerova domněnka se nachází jen krůček od srozumitelného problému (i když jde o krok, který zahrnuje spoustu velice těžké matematiky), pro Hodgeovu domněnku nic takového neplatí. Vyjdeme-li z matematických koncepcí, které každý zná ze střední školy, pak cesta k domněnce vyžaduje několik takových kroků. Navíc jde o kroky, které by sklíčily i většinu profesionálních matematiků.

Hodgeova domněnka pravděpodobně nejlépe ze všech problémů tisíciletí ilustruje fakt, že totiž podstata moderní matematiky neumožňuje laikovi, aby ji náležitě ocenil. Během celého století vršili matematici nové abstraktní teorie na ty již existující, a každý krok je zavedl dále od běžného každodenního světa, na kterém musíme v konečném účtování stavět veškeré naše poznání. Jak jsem již poznamenal výše, nejde tak moc o to, že matematik vytváří nové věci; jde spíše o to, že objekty, jimiž se zabývá, jsou stále abstraktnější a abstraktnější. V případě Hodgeovy domněnky hrají zásadní úlohu operace z kalkulu (derivování, integrování a podobně). Tento kalkulus ale není aplikován na reálná čísla, jak jej znají leckteří studenti středních škol, ba ani na komplexní čísla. Jde o kalkulus, který je prováděn v mnohem obecnějším, abstraktnějším měřítku.

Možná, že pro laika představuje právě ona nepřístupnost nejzajímavější rys problému. Před sto lety bylo možno vysvětlit jakýkoli matematický problém laikovi, který o to projevil zájem. V dnešní době nelze některé problémy vysvětlit ani většině profesionálních matematiků.

Lidský mozek musí tvrdě pracovat, aby se dostal na další úroveň abstrakce. Teprve až když si osvojí jednu úroveň, může z ní abstrahovat na další. To je také jeden z důvodů, proč mladému matematikovi trvá tolik let, než se dostane k hranicím některých odvětví svého oboru. (Existuje pár oblastí, kde tomu tak není, ale zdá se, že ty postupně mizí spolu s tím, jak matematika stále nachází nové způsoby uplatnění abstraktnějších technik k posunu poznání ve zdánlivě konkrétnějších oborech.)

Navzdory tomu, co bylo řečeno, se přesto pokusím vysvětlit, co říká Hodgeova domněnka.
…

Při formulaci Hodgeovy domněnky můžeme začít s integrály definovanými na zobecněných cestách, které leží na nějaké algebraické varietě. Deformací těchto cest se hodnoty integrálů nemění, takže si můžeme myslet, že jsou integrály definovány na celé třídě cest.
Hodgeova domněnka tvrdí, že jestliže se určitá část těchto integrálů rovná nule, potom se v příslušné třídě najde cestička, kterou je možné popsat polynomiální rovnicí.
Jak jsem již poznamenal, tato formulace Hodgeovy domněnky je sice technicky přesná, ale nevystihuje správně jejího ducha.

úryvky z knihy:
Keith Devlin
Problémy pro třetí tisíciletí.
Sedm největších nevyřešených otázek matematiky

Dokořán a Argo, Praha, 2005, http://www.dokoran.cz/index.php?p=book.php&id=173

autor