Student World

Matematické věty jsou výsledkem logického procesu, a platí proto věčně — od chvíle, kdy byly dokázány, až do konce světa. Matematické důkazy jsou absolutní, nevyvratitelné.

Abychom docenili sílu matematických důkazů, porovnejme je s jejich slabšími kamarády, vědeckými důkazy přírodních věd. V přírodních vědách je zvykem zformulovat hypotézu, která má vysvětlit nějaký existující přírodní jev. Jsou li výsledky pozorování v souladu s touto hypotézou, stanou se z nich argumenty na podporu této hypotézy. Hypotézy však nemají za úkol pouze vysvětlit existující jevy, ale předpovědět jevy další. Je tak možno provádět experimenty, které ověří, nakolik je nová hypotéza schopna předpovědět jejich výsledek. Jsou-li výsledky těchto experimentů v souladu s předpověďmi, stanou se dalšími argumenty podporujícími pravdivost hypotézy. Když je konečně množství argumentů podporujících hypotézu přesvědčivě velké, stává se hypotéza akceptovanou vědeckou teorií.

Vědecké teorie však nikdy nemohou být dokázány tak nevyvratitelně, jako je tomu u matematických vět: jsou pouze považovány za vysoce pravděpodobné s ohledem na množství argumentů, které je podporují. Takzvaný vědecký důkaz je založen na pozorování a vnímání, která jsou však nepřesná a poskytují nám pouze jakési přiblížení pravdy, nikoli pravdu samu. Jak kdysi poznamenal filosof Bertrand Russell: ”I když se to může zdát paradoxní, je celá věda prostoupena pojmem aproximace.“ Dokonce i nejuznávanější vědecké důkazy v sobě skrývají zrnko pochybnosti. Někdy je tato pochybnost zatlačena do pozadí, i když zcela zmizet nemůže nikdy, jindy převáží a celý důkaz je považován za chybný. Tato slabost vědeckého důkazu má za následek vědeckou revoluci, kdy jedna teorie, o které se předpokládalo, že je pravdivá, je nahrazena jinou teorií, která může být buď pouhým zdokonalením teorie předchozí, nebo teorií zcela odlišnou. …Vědecký důkaz je nevyhnutelně nestálý a nepříliš trvanlivý. Na druhé straně matematický důkaz je absolutní a nevyvratitelný. Pythagoras zemřel ve správném přesvědčení, že jeho věta, která byla pravdivá v roce 500 před Kristem, zůstane pravdivá věčně.

Věda je založena na principu kritiky. O vědecké teorii se předpokládá, že je pravdivá, jestliže ji podporuje dostatečné množství argumentů, které ji dokazují ”mimo veškerou rozumnou pochybnost“. Matematika se na druhé straně nespoléhá na důkazy plynoucí z nepřesných experimentů, je založena na nenapadnutelné logice. Rozdílnost obou přístupů můžeme předvést na problému ”vykousnuté šachovnice“.

Máme šachovnici, ze které jsme odstranili dvě protější (bílá) rohová pole, takže na ní zůstalo jen dvaašedesát polí. Vezmeme 31 kamenů domina takových, že každý z nich pokryje přesně dvě pole šachovnice. Otázka zní: je možné položit těchto 31 kamenů domina na vykousnutou šachovnici tak, aby pokryly všech 62 čtverečků?

Jsou dvě možnosti, jak postupovat při řešení:
(1) Experimentální přístup
Přírodovědec by snažil vyřešit problém pomocí experimentů, a když zkusil několik desítek možností, konstatoval by, že při žádné z nich se mu nepodařilo šachovnici pokrýt. Nakonec by uvěřil tomu, že vykousnutá šachovnice nemůže být pokryta kostkami domina, protože pro to hovoří dostatečné množství experimentálních výsledků. Nikdy si však nemůže být stoprocentně jist, že je problém vyřešen, protože může existovat nějaké uspořádání kamenů domina, na které nepřišel a které šachovnici pokryje. Jsou milióny možností různých uspořádání kamenů a je možné prozkoumat jenom malou část z nich. Závěr, že šachovnici pokrýt nelze, je založený na experimentu a vědec se musí smířit s tím, že jednoho dne může tuto hypotézu někdo vyvrátit.

(2) Matematický přístup
Matematik se bude snažit odpovědět na položenou otázku tím, že vytvoří řetěz logických úvah, které povedou k nezpochybnitelnému závěru. K závěru, který zůstane nezpochybnitelným navždy. Jedna z takových úvah by mohla vypadat takto: Obě rohová pole, která jsme odstranili ze šachovnice, jsou bílá. Na šachovnici tedy zůstalo 32 černých a 30 bílých polí. Každá kostka domina pokryje dvě sousední pole, a sousední pole šachovnice mají vždycky různou barvu, tedy jedno je černé a druhé bílé. Proto nezávisle na tom, jak jsou kostky domina uspořádány, musí prvních třicet z nich pokrýt třicet černých a třicet bílých polí. To znamená, že vždycky zůstanou nepokryta dvě černá pole, a jedna dominová kostka, která je má pokrýt. Vzpomeňme si však, že dominová kostka pokryje vždy dvě sousední pole a že ta mají opačnou barvu. Zůstala nám však dvě nepokrytá pole téže barvy, která nemohou být pokryta jedinou zbývající kostkou domina. Proto vykousnutou šachovnici kostkami domina pokrýt nelze! Tato úvaha dokazuje, že žádné uspořádání dominových kostek nepokryje vykousnutou šachovnici.

***

Tento text je úryvkem z knihy Velká Fermatova věta
vychází v novém vydání (Academia + Dokořán)

Překlad Luboš Pick, Jiří Rákosník a Mirko Rokyta, vázaná, 288 stran, 298 Kč

Kniha líčí téměř 350 let úsilí matematiků celého světa o nalezení důkazu Velké Fermatovy věty, kterou vyslovil francouzský matematik 17. stol. Pierre de Fermat.
Podrobnosti o knize na stránkách vydavatele

Některé dosud nejasné otázky problému – Science World (stávající okno)

Kde se vzaly peníze pro luštitele Fermatovy věty – Science World (stávající okno)

autor