Můžeme si představit čtyřrozměrný prostor?

I když nemáme úplně zřetelnou představu čtyřdimenzionálního prostoru, můžeme přesto "nahlédnout", že každá ze dvou třídimenzionálních krychlí má 12 hran a 8 hran je spojuje dohromady, jedna za každý vrchol, což je dohromady 12 + 12 + 8 = 32.

Sdílet

***pravidelné páteční "přetištění" staršího článku

Zdánlivě samozřejmé tvrzení, že si můžeme představit třídimenzionální objekty, kdežto čtyřdimenzionální ne, při bližším zkoumání neobstojí. Představovat si nějakou věc je podobné jako se na ni dívat, ale mezi těmito dvěma situacemi jsou i podstatné rozdíly. Když si máme představit místnost, kterou známe, ne však důvěrně, nedělá nám to potíže. Když se nás ale někdo zeptá, kolik je tam židlí nebo jakou barvu má podlaha, často nedokážeme odpovědět. To ukazuje, že ať už je představa cokoliv, není to fotografický otisk skutečnosti.
V matematickém kontextu hlavní rozdíl mezi schopností a neschopností si něco představit je, že když si to představit dovedeme, můžeme odpovídat na otázky přímo, aniž bychom se museli zamyslet a počítat. To samozřejmě platí jen do určité míry, ale to neznamená, že to není opravdový rozdíl. Když máme říct, kolik má třídimenzionální krychle hran, můžeme „nahlédnout'', že má čtyři hrany kolem horní podstavy, čtyři kolem dolní a čtyři svislé, celkem dvanáct.
„Nahlédnout'' něco ve vyšší dimenzi je těžší a někdy nezbývá, než argumentovat podrobněji, jak jsem ilustroval v příkladu s hranami pětidimenzionální krychle. Ale někdy to jde. Například čtyřdimenzionální krychli si můžeme představovat jako dvě protilehlé třídimenzionální krychle, jejichž odpovídající vrcholy jsou spojené hranami (ve čtvrté dimenzi), podobně jako třídimenzionální krychle je udělaná ze dvou protilehlých čtverců a hran spojujících jejich odpovídající vrcholy. I když nemáme úplně zřetelnou představu čtyřdimenzionálního prostoru, můžeme přesto "nahlédnout'', že každá ze dvou třídimenzionálních krychlí má 12 hran a 8 hran je spojuje dohromady, jedna za každý vrchol, což je dohromady 12 + 12 + 8 = 32. Potom můžeme i "nahlédnout'', že pětidimenzionální krychle sestává ze dvou čtyřdimenzionálních, zase s příslušnými spojnicemi odpovídajících vrcholů. To je celkem 32 + 32 + 16 = 80 hran (32 za každou čtyřdimenzionální krychli a 16 hran mezi), přesně jako jsme spočítali předtím. Takže máme jakousi rudimentární schopnost si čtyřdimenzionální a pětidimenzionální objekty představovat. Je to přirozeně daleko obtížnější než pro objekty třídimenzionální -- například nedokážu přímo odpovědět na otázky o tom, co se stane, když se čtyřdimenzionální krychlí otočí, kdežto pro třídimenzionální to umím -- ale také je to o poznání snazší, než si představovat věci 53dimenzionální. A tak by to být nemohlo, kdybychom vůbec žádnou vícedimenzimenzionální představivost neměli. Někteří matematici se specializují na čtyřdimenzionální geometrii a jejich schopnost čtyřdimenzionálního vidění je vysoce rozvinutá.
Toto psychologické pozorování má v matematice význam širší než jen pro geometrii. Jeden z půvabů života zasvěceného matematickému výzkumu je, že jak člověk získává zkušenost, dokáže "nahlédnout'' věci, které by mu dřív zabraly hodinu nebo dvě usilovného přemýšlení, a netýká se to jen otázek geometrických. Elementární příklad je tvrzení, že 471 * 638 = 638 * 471. To se dá ověřit tak, že se obě násobení provedou a výsledky se porovnají. Ale když si místo toho představíme body uspořádané do mřížky ve tvaru obdélníka o stranách 471 a 638, vidíme, že první součin počítá body po řádcích a druhý po sloupcích, takže musí samozřejmě vyjít totéž. Všimněme si, že představa se zde velmi liší od fotografie: opravdu jsme si představili obdélník 471 krát 638, a ne třeba 463 krát 641? Dokázali bychom to zkontrolovat tak, že bychom spočítali body podél kratší strany?

K čemu je vícedimenzionální geometrie?
Jedna věc je ukázat, že idea vícedimenzionální geometrie není nesmyslná, ale úplně jiná věc je vysvětlit, proč by se měla brát vážně. Tvrdil jsem, že ji lze použít jako model, ale jak je to možné, když obýváme prostor třídimenzionální?
Na to je odpověď jednoduchá. Model může mít mnoho různých aplikací. I dvoudimenzionální a třídimenzionální geometrie se používají na řadu jiných věcí než jen na modelování fyzikálního prostoru. Například pohyb objektu často znázorňujeme grafem, ukazujícím závislost uražené vzdálenosti na čase. Takový graf bude křivka v rovině, a její geometrické vlastnosti odpovídají informacím o pohybu. Proč je pro modelování pohybu vhodná dvoudimenzionální geometrie? Protože nám jde o dva údaje, čas a uraženou vzdálenost, a jak jsme řekli, na dvoudimenzionální prostor můžeme nahlížet jako na množinu dvojic čísel.
To naznačuje, proč by mohla být užitečná geometrie vícedimenzionální. Možná ve vesmíru žádný vícedimenzionální prostor není, ale je řada situací, kdy potřebujeme pracovat se soubory několika čísel.
Vícedimenzionální geometrie je velmi významná třeba v ekonomii. Když se například rozmýšlíme, jestli máme nakoupit akcie nějaké firmy, většina informací, která nám v rozhodování může pomoct, přichází v číselné formě -- počet zaměstnanců, hodnota různých aktiv, cena surovin, úroková míra a tak dále. Tato čísla seřazená do posloupnosti můžeme považovat za bod ve vícedimenzionálním prostoru. O co se snažíme, nejspíš porovnáním s mnoha podobnými firmami, je identifikovat určitou oblast tohoto prostoru, oblast, v níž je vhodné akcie nakoupit.

Tento text je úryvkem z knihy:
Tim Gowers: Matematika - průvodce pro každého
podrobnosti o knize http://www.dokoran.cz/index.php?Matematika&p=book.php&id=246

Další články z rubriky

Související články

Tagy

čtyřrozměrný prostor · krychle

pridat Linkuj | Jagg | Delicious | Facebook | vybrali.sme.sk

Komentáře

15.02.11, 10:27 vlado77

Re: Mita

S tou predstavou pomocou 3D scaneru v case mi to pride velmi vystizne, len mi tam nesedi jedna vec, to ze gula sa bude zmensovat a potom zvacsovat.
Podla mna ta 3D gula bude vzdy rovnaka, teda najskor nic, potom spojita seria rovnakych gul a potom zasa nic...Co sedi podla mna aj s tym ako sa kresli 4D kocka, teda dve rovnake kocky s prepojenymi hranami. Aj gula sa da rovnako predstavit, mozeme si miesto gule predstavit mnoho hran podobny guli.
Takze hocaky 3D objekt v 4D mi pride ako rozmazana cmuha tohto objektu, ale horsie by to bolo s objektami ktore su zlozite v 4D a skusit ich pochopit v 3D, mohli by to byt rozne 3D utvary ktore spolu vobec nesuvisia. Napr. levitujuca kocka moze byt 4D kvader normalne stojaci na zemi :)

Teda 4D sa lahko predstavuje pomocou casoveho sekvenovania a 5D sa da predstavit ako paralelne vesmiry(opat len diskretne), kde kazdy ma svoj cas a 3D priestor

14.02.11, 21:21 vlado

Áno, plne súhlasím s rezmi podľa "mity"

a doplnil by som to asi takto: V prípade 4D gule je jedno v smere ktorej roviny sa robia rezy. Výsledkom sú vždy 3D gule. V prípade 4D kocky môžem dostávať ako výsledok 3D kvádre, ak režem rovnobežne so stenami 4D kocky, a rôzne šikmo zrezané 3D kvádre, ak nerežem rovnobežne so stenami 4D kocky. Ďakujem všetkým za diskusiu, mne to pomohlo !

14.02.11, 19:41 taco

4D koule jako funkce

vlado wrote: "guľa ako geometrický útvar má možno nejaké zvláštne vlastnosti"

Oprostěte se od idální geometrie čtverců a kruhů. V reálu nic takového neexistuje. A pak zjistíte, že koule není nic jiného než nákousnutá realita.

Představte si nikoliv krychli, nebo kouli, ale nějaký patvar z modelíny, kterou jste zmačkal. Jaký ten má rozměr? Nebo třeba "auto".

Když mám čtverec, tak prostě mám hodnoty a ty vynesu pomocí funkce. Že se ta funkce skládá z jednoho čísla, tak fajn. V případě kruhu bude ta funkce složitější, i když hodnota bude také jen jedna. V případě tvaru v podobě automobilu to bude funkce ještě složitější, a hodnot, které musím zadat bude moc.

Pokud budete chtít vykreslit objekt v dalších rozměrech, tak jen použijete tu funkci pro každý rozměr extra. Bude-li ten objekt (koule, krychle) symetrický, použijete stejná data pro každý rozměr. Nebude-li symetrycký (vajíčko, kvádr) tak budete používat stejnou funkci pro každý rozměr, ale s jinými daty.

14.02.11, 14:45 mity

4d predstava jako 3d film

Ja jako urcitou a nedokonalou pomucku pro "nahlizeni" do 4d pouzivam predstavu 3d filmu nebo scanneru magneticke rezonance. Tj. kazde policko je tvoreno 3d scenou, ktera je 3d prurezem toho 4d objektu a pohyb ve ctvrtem prostoru je pak reprezentovan pohubem na vedlejsi policka filmu/scanu. 3D na kazdem policku si lze predstavit pomerne dobre, protoze ve 3D se vetsinou vyskyujeme ;-)

Scannem objeku pomoci magneticke rezonance (napr. lidskeho tela) lekar ziska serii 2d obrazku (odpovidajici prurezum toho tela, treti rozmer je dan tim, na ktery zaber z te sekvence se diva.

Napriklad k te zminovane kouli:

Nejprve si predstavte 3D-kouli v takovem scanneru magneticke resonance: na kazdem policku neuvidite nic, (rovina scanneru neprotina kouli) a jak koule postupne projizdi scannerem, ukazuje se na monitoru bod, a pak stale rostouci kruznice, ktera se po dosazeni prostredku opet zmensuje.

Analogie ve 4D je pak jednoucha : 4d scanner tvorici 3d-obrazky rezu na kazdem policku neukaze nejdriv nic, pak bod a na dlasich postupne rostouci kouli. Nejvetsi kouli uvidime az scanner dosahne rezu prtinacjici stred 4d-koule. Na dalsich polickach se opet koule bude zmensovat, az uplne zmizi.

Horsi to uz je, kdyz si v tom 4D prostoru povolime cas....

14.02.11, 11:03 vlado

problém

Ja nevidím až taký problém práve v tom, že si tú 4D guľu neviem predstaviť. Nakoniec viem vypočítať jej objem aj povrch ... ide mi o iné: Viem popísať rozdiel napr. medzi 3D a 4D kockou. Popíšem počet vrcholov, hrán, stien jednej aj druhej. Ale o rozdiele medzi 3D a 4D guľou neviem povedať zhola nič. Začínam si myslieť, že guľa ako geometrický útvar má možno nejaké zvláštne vlastnosti a postavenie oproti všetkým iným telesám ?

14.02.11, 01:17 pavelhouser

"predstavit si"

podle meho nazoru to autor mysli takto:
zastava wittgensteinovsky pristup k matematice - coz samozrejme neni jediny mozny pristup. asi nejak ve stylu wittgensteinova vyroku "smysl vyrazu zalezi v jeho pouzivani".
"predstavit si/znat" 4D kouli pak znamena umet ji efektivne "pouzivat", tj. provadet s ni matematicke operace dejme tomu stejne/obdobne rychle jako se 3D kouli. neni nutne si ji pritom nejak vizualizovat (pokud to vubec lze), staci jakakoliv "zhustena" mentalni reprezentace, asi...

12.02.11, 23:31 vlado

Pre tentokrát zostanem v 2D

a pridám zaujímavú otázku:
x*x + y*y = 1 je rovnica kružnice na ploche.
Kvôli obmedzeným možnostiam tunajšej typografie inak napísané:
x(exp2) + y(exp2) = 1
Vedeli by ste len tak z hlavy predstaviť, ako vyzerá nakreslený graf
rovnice:
x(exp100) + y(exp100) = 1
Pozor, nekreslite, nedávajte do grafického editora, iba rozmýšľajte !

12.02.11, 17:02 SashaCZ

4rozměrná krychle.

Já si to nějak rozumně nedokážu představit.
Když to vezmu postupně
A na 0 je bod
A na 1 je úsečka o délce A, obsahuje nekonečně bodů
A na 2 je čtverec o straně A, který obsahuje nekonečno úseček A
A na 3 je krychle o straně A, která obsahuje nekonečno čtverců o straně A.
Potom by A na 4 byl objekt, který by obsahoval nekonečno krychlí o straně A a nejde nějak kloudně namalovat.

12.02.11, 10:19 vlado

Guľa

Áno, súhlas, lenže pri guliach vyšších rozmerov nevznikajú telesové uhlopriečky rôznych dĺžok cez viac rozmerov ako pri kockách. Položím teda otázku ešte inak:
Ako rozoznám, či sa pozerám na 3D guľu, 4D guľu alebo na 5D guľu, keď nemajú rôzne počty vrcholov a hrán ako príslušné kocky?

11.02.11, 20:58 taco

Guĺa

Kostka, neboli krychle je také charakterizovaná jediným číslem - na rozdíl od kvádru.

11.02.11, 08:37 vlado

Guľa

OK, kocka je kocka. Ale ako si predstaviť štvorrozmernú guľu? Tá asi musí byť symetrická a je stále charakterizovaná jediným číslom, polomerom, lebo aj 2D (kruh), a 3D guľa majú jediný parameter, polomer. Ako si to predstaviť? Pri kocke vznikajú telesové uhlopriečky rôznych dĺžok, ale ako pri guliach vyšších rozmerov ???

Napsat vlastní komentář

Pro přidání příspěvku do diskuze se prosím přihlašte v pravém horním rohu, nebo se prosím nejprve registrujte.

Science World