Student World

První díl textu

Obecný matematický obor, v němž se ignorují vlastnosti jako velikost, vzdálenost a v určitém smyslu dokonce i tvar, se nazývá topologie. Tato „geometrie gumové plachty“ zkoumá vlastnosti, které zůstanou nezměněny, když se prostor, v němž se dané objekt nacházejí, roztáhne nebo jinak deformuje (aniž se vytvoří díry). Uzly svou povahou patří právě do topologie. Matematici mimochodem rozlišují mezi samotnými uzly, což jsou jednotlivé zauzlované smyčky, spojkami, tedy sériemi zauzlených smyček pospojovaných dohromady, a copánky (braid), což jsou sestavy svislých vláken připojených k vodorovné tyči na horním i dolním konci.

Pokud vás tvrzení o obtížnosti práce na roztřiďování uzlů nijak neohromilo, zvažte následující výmluvnou skutečnost. Tabulka, kterou Charles Little vydal v roce 1899 po šesti letech práce, obsahovala 43 nestřídavých uzlů s deseti kříženími. Tabulku zkoumala celá řada matematiků a v 75 letech byli všichni z nich přesvědčeni, že je správná. Až v roce 1974 experimentoval newyorský právník a matematik Kenneth Perko8 na podlaze svého obývacího pokoje s provázky a ke svému údivu zjistil, že dva z uzlů Littleovy tabulky jsou ve skutečnosti stejné. Nyní máme za to, že existuje jen 42 různých nestřídavých uzlů s deseti kříženími.

Topologie sice ve 20. století zaznamenala ohromný pokrok, teorie uzlů však kráčela dopředu relativně pomalu. Jedním z klíčových cílů matematiků bádajících nad uzly bylo zjistit vlastnosti, které uzly skutečně rozliší. Tyto vlastnosti nazýváme uzlové invarianty – veličiny, pro něž jakékoli dvě odlišné podoby téhož uzlu dávají přesně stejné hodnoty. Jinými slovy, ideální invariant je doslova „otisk prstu“ určitého uzlu – charakteristická vlastnost, která se deformací uzlu nezmění. Snad nejjednodušším invariantem, jaký si dovedeme představit, je nejmenší počet křížení v nákresu uzlu. Například i když se budeme snažit rozplést trojlístkový uzel jakkoli zoufale (obrázek 54b), nikdy nedostaneme počet křížení na méně než tři. Je tu však bohužel řada důvodů, proč nejmenší počet křížení není tím nejužitečnějším invariantem. Zaprvé, jak dokazuje obrázek 55 (rámcově by text měl být srozumitelný i bez samotných obrázků), není vždy snadné zjistit, zda byl uzel zakreslen s nejmenším počtem překřížení. Ještě důležitější je druhý důvod, totiž ten, že řada fakticky odlišných uzlů má stejný počet křížení. Na obrázku 54 například vidíme tři různé uzly s šesti kříženími a sedm různých uzlů se sedmi kříženími. Nejmenší počet křížení tudíž většinu uzlů nerozliší. A konečně, nejmenší počet křížení vzhledem k velmi jednoduché povaze tohoto invariantu nepřináší žádné příliš pronikavé pochopení obecných vlastností uzlů.

Průlom v teorii uzlů nastal v roce 1928, kdy americký matematik James Waddell Alexander (1888–1971) objevil důležitý invariant známý jako Alexandrův polynom. Jde v podstatě o algebraické vyjádření, které k označení uzlu využívá strukturu překřížení. Dobrou zprávou bylo, že pokud mají dva uzly různé Alexandrovy polynomy, pak jsou tyto uzly rozhodně odlišné. Špatnou zprávou je naopak to, že dva uzly, které mají stejný polynom čili mnohočlen, mohou stále být rozdílné. Alexandrův polynom tak byl sice mimořádně užitečný, na dokonalé rozlišení uzlů však stále ještě nestačil.

Další čtyři desetiletí matematici strávili bádáním nad konceptuální základnou Alexadrova polynomu a prohlubováním pochopení vlastností uzlů. Proč se vlastně chtěli dostat ve výzkumu uzlů tak hluboko? Určitě ne kvůli praktickým aplikacím. Thomsonův model atomu byl dávno zapomenut a v přírodních vědách, ekonomii, architektuře ani jiné disciplíně nebyly na obzoru žádné problémy, které by k řešení vyžadovaly teorii uzlů. Matematikové trávili nad uzly nekonečné hodiny prostě proto, že byli zvědaví! Představa, že by porozuměli uzlům a principům, které je ovládají, byla pro ně něčím dokonale krásným. Náhlý blesk poznání v podobě Alexandrových polynomů byl pro matematiky stejně neodolatelný, jako byla výzva k pokoření Mount Everestu pro George Malloryho, který na otázku, proč chce na tu horu vylézt, odpověděl slavnou replikou – „protože tam je“.

Ke konci 60. let 20. století odhalil plodný angloamerický matematik John Horton Conway, jak se dají uzly postupně „rozuzlovat“, čímž odkryl fundamentální vztah mezi uzly a jejich Alexandrovými polynomy. Conway zejména zavedl dvě jednoduché „chirurgické“ operace, které by se mohly stát základem k určení uzlového invariantu. Conwayovy operace obrácení a vyhlazení jsou schematicky znázorněny na obrázku 56. Obrácením (obrázek 56a) projde křížení transformací, v níž se z horního vlákna stane spodní (obrázek rovněž ukazuje, jak této transformace dosáhneme se skutečným uzlem na provázku). Povšimněme si, že obrácení povahu uzlu očividně mění. Můžeme se například snadno přesvědčit, že trojlístkový uzel z obrázku 54b se po obrácení stane nulovým uzlem (obrázek 54a). Conwayova operace vyhlazení pak křížení zcela eliminuje (obrázek 56b) tím, že vlákna oddělí a pak znovu spojí „špatným“ způsobem. I s novými poznatky získanými díky Conwayově práci však byli matematici ještě téměř dvě desetiletí přesvědčeni, že žádné jiné uzlové invarianty (typu Alexandrova polynomu) se nalézt nedají. Tato situace se v roce 1984 dramaticky změnila.

Novozélandský Američan Vaughan Jones se vůbec nevěnoval uzlům. Žil totiž v ještě abstraktnějším světě – zabýval se jednou z matematických struktur známých jako von Neumannovy algebry. Najednou si však všiml, že jeden vztah, který se ve von Neumannových algebrách objevil, se podezřele podobá určitému vztahu teorie uzlů. Sešel se proto s odbornicí na teorii uzlů z Columbijské univerzity Joan Birmanovou, aby se s ní poradil o možných uplatněních. Průzkum onoho vztahu nakonec vedl k odhalení zcela nového uzlového invariantu, Jonesova polynomu. Okamžitě se zjistilo, že jde o invariant citlivější na rozlišování uzlů než Alexandrův polynom. Dokázal například rozlišit mezi uzly a jejich zrcadlovými podobami (třeba pravotočivým a levotočivým trojlístkovým uzlem z obrázku 57), jejichž Alexandův polynom byl stejný. Ještě důležitější však bylo, že Jonesův objev vyvolal mezi teoretiky uzlů nevídané vzrušení. Zpráva o novém invariantu vedla k takovému poryvu horečné aktivity, že svět uzlů najednou začal připomínat parket akciové burzy krátce poté, co americká centrální banka nečekaně sníží úrokové sazby.

Jonesův objev znamenal mnohem více než jen pokrok v teorii uzlů. Jonesův polynom totiž zčistajasna propojil neuvěřitelnou škálu oblastí matematiky a fyziky, od statistické mechaniky (využívané například ke studiu chování velkých souborů atomů nebo molekul) po kvantové grupy (matematický obor týkající se fyziky subatomárního světa). Matematici po celém světě se horečně pohroužili do snah najít další obecné invarianty, které by nějakým způsobem zahrnovaly jak Alexandrův, tak Jonesův polynom. Matematické dostihy skončily zřejmě nejpodivuhodnějším výsledkem v dějinách vědecké konkurence. Jen pár měsíců poté, co Jones předložil svůj nový polynom, oznámily čtyři skupiny, které pracovaly nezávisle na sobě a používaly tři různé matematické přístupy, ve stejné chvíli objev ještě citlivějšího invariantu. Nový polynom byl nazván HOMFLY podle počátečních písmene příjmení badatelů, kteří je objevili – byli jimi Hoste, Ocneanu, Millett, Freyd, Lickorish a Yetter. A jako kdyby nestačily čtyři skupiny, které v nerozhodném závodě přiběhly do cíle zároveň, objevili dva polští matematikové Przytycki a Traczyk nezávisle přesně tentýž polynom, avšak kvůli nevypočitatelné poště promeškali publikační termín. Proto se po přidání iniciál obou Poláků tento polynom označuje také jako HOMFLY-PT (nebo někdy THOMFLYP).

Od té doby byly objeveny další uzlové invarianty, avšak úplná klasifikace uzlů nám stále uniká. Otázka, s jakými přesně uzly lze manipulovat bez použití nůžek tak, aby vytvořily jiné uzly, zůstává tedy nezodpovězena. Dosud nejrozvinutějším invariantem je výtvor ruskofrancouzského matematika Maxima Konceviče, který v roce 1998 získal prestižní matematickou cenu, Fieldsovu medaili, a v roce 2008 Crafoordovu cenu. Mimochodem, v roce 1998 Jim Hoste z Pitzer College v kalifornském Claremontu a Jefrrey Weeks z Cantonu v státě New York sestavili do tabulky všechny uzlové smyčky se 16 a méně překříženími. Stejnou tabulku nezávisle na nich vypracoval Moritz Thistlethwaite z Univerzity of Tennesee v Knoxville. Každý seznam obsahuje přesně 1 701 936 různých uzlů!

Skutečné překvapení se však nezrodilo z pokroku v samotné teorii uzlů, nýbrž z dramatického a nečekaného návratu na scénu, jaký teorie uzlů zažila v širokém spektru vědních oborů.

(dokončení textu)

Tento text je úryvkem z knihy

Mario Livio: Je Bůh matematik?

Argo a Dokořán, 2010

O knize na stránkách vydavatele

autor