Neživá příroda | 21.07.10
Máme před sebou číslo 5*383*8*2*936*5*8*203*9*3*76. Na místa hvězdiček je třeba doplnit číslice od 0 do 9. Hvězdiček je 10, každou číslici lze použít jen jednou. Úloha zní, jaká je pravděpodobnost, že výsledné číslo bude dělitelné 396.
Zdroj: Derrick Niederman: 101 hádanek pro náročné, Portál, 2006
Autorem úlohy je Leo Moser
Malá nápověda: Je jasné, že kdyby taková úloha člověku vyšla třeba z nějakého fyzikálního experimentu (tedy jakého?) nebo z nějaké archeologické či detektivní záhady (poškozený dokument), pokládal by ji za prakticky neřešitelnou. Po doplnění 10 číslic může vzniknout 10! možných čísel (permutace).
Když je příklad zadán jako úloha, pak je ale jasné, že se nic takhle počítat nebude a řešení je založené na nějakém fíglu. Konkrétně: všimněte si, že hvězdičky jsou v čísle vždy na „sudých“ pozicích...
Nahrává se..
Maskování chobotnice se svou rychlostí vyrovná...
Sdílet
Komentáře
29.07.10, 22:26 Kadar
Je to tady
Podařilo se mi dosadit jednotlivá čísla za hvězdičky, vydělit číslem 396
a výsledek byl na světě !!!
Řešení:
5*383*8*2*936*5*8*203*9*3*76 / 396 = 14995931128627663717254831
Výsledek:
5 * 383 * 8 * 2 * 936 * 5 * 8 * 203 * 9 * 3 * 76
9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
Pozn.: Ověřeno, je to správně.
21.07.10, 12:46 MartinP
re re
Máte pravdu, tuto "drobnost" jsem v zadání přehlédnul.
21.07.10, 12:29 radkin
re
V zadani je "Hvězdiček je 10, každou číslici lze použít jen jednou. ", tozn., ze soucet je 45.
Radek
21.07.10, 11:36 MartinP
Řešení
Jestli jsem dobře počítal, tak pravděpodobnost je necelých 5%. (Tedy za předpokladu, že každou cifru vybíráme nezávisle.)
Co se týče dělitelnosti, souhlasím s radkinem. Jeho závěr je však unáhlený.
Označme S součet všech deseti neznámých číslic. Pak použitím pravidel dělitelnosti musí být S dělitelné devíti, S-1 dělitelné jedenácti (čtyřmi je to celé dlouhé číslo dělitelné vždy). S je mezi nulou a devadesáti, a jediné S, které zároveň splňuje i předchozí požadavky na dělitelnost je S=45. Takže hledaná pravděpodobnost je stejná jako pravděpodobnost, že součet deseti nezávislých cifer (0 až 9) je roven 45.
Aproximací normálním rozdělením a použitím tabulkových výsledků mi vyšla pravděpodobnost cca 0.044. Vzhledem k nepřesnosti aproximace a zaokrouhlovacím chybám je ale přesnější říct, že je to necelých 5%.
21.07.10, 08:43 radkin
reseni
Cislo je delitelne 396 pokud je delitelne 4,9 a 11. Cislo je delitelne 4, pokud posledni dvojcisli je delitelne 4. Cislo je delitelne 9, pokud ciferny soucet je delitelny 9. Cislo je delitelne 11, pokud rozdil souctu cisel na sudych a lichych pozicich je del. 11 :) Permutace 0 az 9 cislic s tim nic neudela. Takze toto cislo je vzdy delitelne 396.
Radek
Napsat vlastní komentář
Pro přidání příspěvku do diskuze se prosím přihlašte v pravém horním rohu, nebo se prosím nejprve registrujte.