Perličky o čísle Pí a kvadratuře kruhu

Proč není možná kvadratura kruhu? Pí totiž není jen tak obyčejné iracionální číslo. A proč vlastně matematici s takovou náruživostí určují na x nekonečných míst číslo Pí a ne třeba odmocninu ze 2?

Sdílet

***pravidelné páteční "přetištění" staršího článku

Podívejme se nejprve do historie, konkrétně do světa antické geometrie. Nejznámější řecké úlohy měly konstrukční charakter - trisekce úhlu, kvadratura kruhu, zdvojení krychle... Tyto úlohy bylo třeba v první řadě řešit pouze za použití pravítka a kružítka, v druhé řadě konečným počtem kroků. Právě to bylo překážkou pro uznání postupů, které se objevily už ve starověku a využívaly křivku zvanou kvadratrix. Její konstrukce však vyžadovala užití něčeho, co zhruba odpovídalo našemu chápání limity.
Často bývá uváděno, že kvadraturu kruhu je nemožná, protože Pí není racionální číslo. Díky tomu nedokážeme délku Pí "vzít do kružítka". To ale není správné - odmocnina ze dvou také není racionální (navíc to bylo první číslo, o kterém iracionalita podařilo dokázat), ale zkonstruujeme ji velmi jednoduše - je to úhlopříčka jednotkového čtverce.
V případě Pí je podstata problému v tom, že Pí je nejen iracionální, ale i transcendentní. Iracionální čísla se dělí na algebraická a transcendentní. Algebraická jsou přitom řešením algebraických (polynomiálních) rovnic - třeba odmocnina ze dvou je řešením rovnice x^2-2=0. Transcendentní čísla takto nijak vyjádřit nelze. Zajímavé je, že za mohutnost množiny reálných čísel jsou odpovědná právě čísla transcendentní - algebraických čísel je stále stejné nekonečno (alef, kardinalita) jako těch racionálních.

Dlouho však žádné transcendentní číslo nebylo známo (kuriózně - přitom jich je na ose nekonečněkrát více než ostatních), jako první se to podařilo ukázat u e. U Pí se nejprve podařilo dokázat, že je iracionální, to ale stále ještě nestačilo. V druhé fázi se podařilo ukázat, že goniometrické funkce, prostřednictvím kterých můžeme napsat Pí, jsou transcendentní (to ale ještě stále nestačilo. Funkce sin x je transcendentní, a přesto má v řadě bodů algebraická, ba i racionální řešení). Teprve ve třetím kroku byla dokázána i vlastní transcendence Pí a tím i nemožnost kvadratury kruhu.

Petr Beckann mj. uvádí, že to alespoň nějak opodstatnilo obsesi, se kterou tolik lidí počítalo Pí na stále větší počet desetinných míst. Proč totéž nedělali třeba u odmocniny ze 2? V první řadě proto, že je zajímalo, zda neobjeví nějakou periodu a zda Pí přece jen není racionální, byť vyjádřitelné nějakým hodně složitým zlomkem. Iracionalita Pí byla totiž dokázána až poměrně pozdě, až v novověku (oproti odmocnině ze 2 se zpožděním více než 2 000 let). Pak zde byla vazba na konstrukční úlohu - kvadraturu kruhu.
A konečně a především, Pí je výjimečné i tím, jak je jakoby osamocené. Odmocnina ze 2 je prostě jedna z iracionálních odmocnin. Sinus 1 stupně je prostě obdoba sinu 2 stupňů - a tak dále. Pí je však výjimečné a snad právě zde je důvod pro až obsedantní zpřesňování této hodnoty.

Závěrečné poznámky:
- V rozvoji iracionálního čísla lze v principu najít libovolnou posloupnost číslic. Můžeme pokládat za dokázané, že někde v rozvoji Pí se nachází 1000 devítek, i když jsme je ještě nenašli? Zde se dostáváme k filosofii matematiky-logiky. (Otázky spojené s konstruktivismem, zákonem vyloučení třetího atd.)
- Číslice v rozvoji Pí by se statisticky měly vyskytovat se stejnou frekvencí (samozřejmě nezávisle na zvolené číselné soustavě). V rozvoji do "velkých čísel" to tak skutečně platí (osobně mi kdysi dávno na ZŠ vždy vrtalo hlavou, proč v prvních číslicích rozvíjejících Pí není nikde třeba nula - na dalších místech samozřejmě je :-)).

Petr Beckmann: Historie čísla Pí, Academia, Praha, 1998

Aktualizace: Na jednom místě jakoby vyplývalo, že všechna aglebraická čísla lze sestrojit pomocí pravítka a kružítka, tak to ale není.

autor Pavel Houser

Další články z rubriky

Související články

Tagy

kruh · kvadratura

pridat Linkuj | Jagg | Delicious | Facebook | vybrali.sme.sk

Komentáře

28.08.11, 22:34 Petr

Ještě k :-)

Kdyby neexistovala celá čísla o nekonečném počtu cifer, neměl by asi smysl ani pojem nekonečné řady. Zde je celé číslo o nekonečném počtu cifer: ∑ak.10^k pro k od 0 do ∞, ak={0,1,2...9}

28.08.11, 17:02 Petr

to mity

Celé číslo, které má nekonečně mnoho cifer může klidně existovat. Jeho první člen rozvoje ale není definován. Je možné jít dál do leva, k vyšším řádům. IMHO skutečná chyba mé :-) úvahy spočívá v tom, že celé číslo s nekonečným počtem cifer je nahrazeno symbolem ∞ a ten není číslem. X. kniha Euklidových základů se zdá být vpořádku:-)
Pro hlubší studium: Vopěnka, P.: Meditace o základech vědy, kde člověk zjistí jak může být vše složité.

23.08.11, 15:38 mity

Re: :-)

Petre, cislo, "cele cislo, ktere ma nekonecne cifer" je protimluv, takove cislo proste neexistuje. Mam-li cislo slozene z nekonecne posloupnosti cifer C1, C2, C3..., kde C1 neni nula, pak se nutne jedna o nekonecno samo. Uvazte jeho desetinny rozvoj: uz prvni clen rozvoje je "krat 10 na nekonecno". A nekonecno neni celym cislem.

20.08.11, 23:52 Martin.S.

ad fabrikace

Záleží na tom, co vše se bude brát jako nepřirozená definice. Třeba Cantorovo diskontinuum v trojkové soustavě obsahuje kontinuum iracionálních čísel, kde žádné neobsahuje 1 (tedy jen 0 a 2).

ad Petr: Důkazů iracionality sqrt(2) je vícero. A nezahrávejte si takto lehkovážně s nekonečny...

20.08.11, 22:30 Petr

:-)

Je vůbec číslo √(2) iracionální? Při důkazu jeho iracionality se používá podílu dvou celých čísel a/b. Co když tato celá čísla mají nekonečno cifer? Není pravda, že ∞/∞ je neurčitý výraz? Potom nám nezbývá tvrdit, že důkaz buď někdy neplatí, anebo že zrovna při něm platí ∞/∞=√(2).

20.08.11, 15:26 pavelhouser

ano

nepreme se o nesmysly, je to prece krajne zajimave :-)

mate pravdu, ten priklad s jednickama je presvedcivy. u toho Pi mi to tak neprislo. (viz zdenek jindra)
k cemuz me napada:
- mozna, ze cisla jako Pi, e ci SQR2 jsou nejak "fyzikalni/normalni" (chtelo by se rict prirozena, kdyby toto slovo uz nebylo "obsazeno") a v nich tedy najdeme libovolnou posloupnost? rozmisteni cislic je nahodne (jasne, az na ty frekvence, tak rekneme "nejak nahodne"), procez se zde musi vyskytnout vsechny posloupnosti?
- zatimco pak mame iracionalni cisla specialne zkonstruovana "tak, aby v nich neco nebylo", a ta lze definovat prave jen takto algoritmem, ale ne treba jako odmocninu?
- jeste ma napadla tato vec. vezmete Pi v desitkove soustave. Reknete si, ze z nej vyrobite iracionalni cislo bez devitek, takze proste devitky nahradite osmickami. Vysledkem uz nemusi byt iracionalni cislo, souhlasite? (respektive, kdybychom z cisla z 0 a 1 odstranili jednicky, dostaneme proste nikoliv iracionalni 0. plati to ale i pro odstraneni jinych cislic?)
- ke statistikam cislic. Je-li rozvoj typu Pi, pak, zdalo by se, je vsech cislic stejne ve smyslu, ze jich je vsech nekonecno. budou cisla, kdy nekterych cislic v rozvoji bude konecny pocet? (ale opet jina, nez zkonstruovana algoritmem, "na zacatek 8 a pak stridej 1 a 0")

zkusim sehnat nejakeho matematika k rozhovoru na tato temata.
dekuji diskutujicim za komentare zajimavejsi nez puvodni text.

20.08.11, 12:37 Martin.S.

ad intuicionisté

Pro ně by neplatil (nekonstruktivní) důkaz sporem. Dáme-li to k zmiňovaným normálním číslům, přijde mi, že ono původní tvrzení mohlo být "V rozvoji nějakého iracionálního čísla ..." (a nikolv "V rozvoji každého iracionálního čísla ...", jak jsme to zde brali). Autoři to mohli dokazovat sporem (že není možné, aby všechna čísla měla rozvoj, pro který to neplatí) a dát k tomu poznámku, že takový důkaz by intuicionisté nevzali.

20.08.11, 00:07 Martin.S.

Liouvilleova konstanta

Asi mícháme příliš mnoho věcí dohromady. Zkusme vzít právě jedno číslo, které je na první pohled iracionální, a přitom obsahuje jen nuly a jedničky (v daném rozvoji): 0.1100010000000000000000010000.... - jedničky jsou na faktoriálech. Toto číslo není racionální, anžto se vzdálenost mezi jedničky neustále zvětšuje, tedy rozvoj není periodický. A rozhodně zde nejsou všsechny možné posloupnosti.

PS Je jedno, co kde kdo napsal - to realitu nezmění. Možná to původní tvrzení znělo trochu jinak, a zde se jen nesmyslně přeme o nesmysl.

19.08.11, 22:41 pavelhouser

nevim

- to prvni, ze v rozvoji Pi/jakehokoliv iracionalniho cisla je libovolna posloupnost, viz Cryan, Shatil: Logika, Portál 2002 (kde se prave pise, ze dukaz neuznaji pouze zastanci neklasickych logik, napr. intuicioniste)
- to druhe, ze tam je vsech cislic stejne, je asi opravdu chyba. respektive tezko jsem si to vymyslel ja, ale odkud jsem to prevzal takhle zpetne netusim, spatne zdrojuji, ano :-( (mozna jsem domnenku, ze to tak je, zamenil za skutecnost?)
- liuvillova cisla - nevim, beckamm je pravdepodobne preskocil, aby to ukazal na prikladu nejakeho cisla, co lide znaji (knihu u sebe uz nemam)

19.08.11, 19:56 Martin.S.

nikoliv filosofie

1) Karel-I. dal pěkný a jasný důkaz, že poznámka o rozvoji iracionálních čísel není pravdivá. K tomu dal i odkaz na WP na normální čísla, kde se to dá najít.
2) Odkaz od uživatele "anonym" dává příklad čísla (Liouville's constant), které obsahuje jen 0 a 1, je konstruktivní, a přtom není racionální (ani algebraické).
3) Každý se někdy splete (dokonce i já), tak bych to nemlžil. Naopak otevřenost otázky normálnosti čísla pí se může vypíchnout jako zajímavá sama o sobě.

19.08.11, 17:50 pavelhouser

tezko rict

on je to starsi clanek, cili nevim, co pochazi ze zdrojovane knihy a co je pripadne moje chyba.
rekl bych, ze jde prave o to, ze o rozvoji iracionalniho cisla "nelze nic rici", pouze ho vycislovat. tudiz tam nemohou prevladat nejake cislice a stejne tak tam nemuze byt vyloucena urcita posloupnost cislic. ale myslim zalezi fakt na tom, jakou zastavate filozofii matematiky. jste-li konstruktivista, pak konkretni posloupnosti uverite az tehdy, pokud ji najdete, a rovnomerne zastoupeni cislic neuznate vubec, protoze nemuzete projit nekonecno cislic (a navic ty pomery kdo vi, zda se to k nim bude blizit limitne, muze to skakat dost libovolne, asi)
kazdopadne otazky zajimave a rad se necham poucit...

19.08.11, 16:21 Zdenek.Jindra

> Karel-I.

Domnívám se, že pravidlo, které by vyrobilo přetypování sedmičkového pí na desítkové, by muselo nejspíš operovat s nekonečnou řadou, takže by minimálně kus iracionality číslu pí sebralo, prostě bychom si tak definovali podmnožinu iracionálních čísel. Nemluvě o tom, že současný styl matematického zápisu není, pokud je mi známo, k podobným kouskům vůbec uzpůsoben. Muselo by se to zapsat algoritmicky, čímž bychom přišli o šanci na dokazování jakéhokoliv výstupu.

19.08.11, 10:51 Karel-I.

Ještě dodávám,

že tím druhým tvzením míním to o statisticky rovnoměrném zastoupení číslic. Trochu jsem hledal a např. na wikipedii (http://de.wikipedia.org/wiki/Normale_Zahl) našel, že není známo, zda to pro pí platí. Ovšem wikipedie nemusí mít pravdu, píši ji i laikové.

19.08.11, 10:36 Karel-I.

K závěrečným poznámkám

Ač nejsem matematik, překvapila mě matematická "síla" vět uvedených jako poznámky a ptám se matematiků či autora:
1. Opravdu platí, že v rozvoji iracionálního čísla lze v principu najít libovolnou posloupnost číslic? Když si například představím zápis čísla pí v sedmičkové soustavě (je iracionální v libovolné soustavě, proto zápis bude nutně neperiodický) a budu ho brát jako zápis nějakého čísla v soustavě desítkové, bude toto číslo iracionální (protože zápis bude rozhodně neperiodický) a přesto se v něm nebude vyskytovat např. posloupnost číslic 888. Mýlím se? Tvrzení však může platit pro pí - bylo pro něj opravdu dokázáno?
2. Ze stejného důvodu není evidentní ani druhé tvrzení - opravdu bylo dokázáno pro pí?

19.08.11, 07:44 anonym

Liouvillova čísla

>>Dlouho však žádné transcendentní číslo nebylo známo (...), jako první se to podařilo ukázat u e

To není pravda. První známá transcedentní čísla byla uměle zkonstruovaná Liuvillova čísla http://en.wikipedia.org/wiki/Liouville_number

Napsat vlastní komentář

Pro přidání příspěvku do diskuze se prosím přihlašte v pravém horním rohu, nebo se prosím nejprve registrujte.

Science World