Psychologie | 04.03.11
Profesor žáky vystraší následujícím výrokem: Tento týden si napíšeme písemku. Když ráno přijdete do školy, nebudete nikdy vědět, zda se právě tento den bude psát písemka. Bude to pro vás tedy překvapení.
***pravidelné páteční "přetištění" staršího článku
Jeden ze studentů uvažoval následujícím způsobem:
Pokud bych šel v pátek do školy, už bych věděl, že písemka se musí psát právě tento den a nebylo by to pro mě žádné překvapení. Tudíž v pátek se žádná písemka psát nemůže. Ale když půjdu do školy ve čtvrtek, tak pokud by se ještě písemka nepsala - a protože se nemůže psát v pátek - musela by se psát právě tento den, a nebylo by to tedy žádné překvapení, a tudíž můžeme vyloučit i čtvrtek. Atd. Písemka se tedy nemůže vůbec psát.
Profesor však v tu chvíli klidně oznámí: Připravte se, písemka začíná. Kde udělal náš student chybu?
Zdroj: Raymond Smullyan: Navěky nerozhodnuto, Academia, Praha, 2003
Smullyan sám se domnívá, že neexistuje dosud řešení tohoto paradoxu, na kterém by se shodli všichni. Podle jeho vlastního názoru je však chyba v tom, že pokud je např. pátek a písemka se ještě nekonala, pak existují dvě možnosti:
- písemka se bude psát a profesor nemluvil pravdu (nebude to překvapení)
- písemka se nebude psát a profesor nemluvil pravdu (protože se celý týden nepíše).
Profesor tedy nejspíš nemluví pravdu a není třeba jeho výroku věřit. Z toho pak vyplývá, že nastat může úplně libovolná eventualita :-).
Nahrává se..
Maskování chobotnice se svou rychlostí vyrovná...
Sdílet
Komentáře
31.10.11, 19:03 bodnula
Nepřesnost v zadání
ještě bych tam přidal 3. možnost k odůvodnění... není stanoveno, že se bude psát právě jedna písemka, pokud by jejich počet nebyl upřesněn, není úloha řešitelná.
25.08.11, 21:37 vojta_vorel
Tvrzení o sobě samém
Teď nikoho nezpochybňuju ani se nehádám, jen postřeh: Podle toho co jsem si četl o logice a paradoxech, tak tohle je asi případ, který standardní logika odmítá řešit, protože se tam něco definuje kruhem, něco se tvrdí na příliš vysoké úrovni. Něco jako "Holič Pepa holí všechny, kdo se neholí sami, holí sebe?" A takové případy matematici neřeší, ať už se nějaké jakés-takés řešení najít dá nebo ne. Myslím že to nějak souvisí s tzv. intuitivní teorií množin. Jestli plácám nesmysly, nekamenujte mě, jsem laik :)
Vojta
21.03.11, 11:04 lmecir
Psychologie
Podle mého názoru se zcela zřejmě jedná o problém logický. Nakolik lze obtížný logický problém považovat i za předmět psychologie mi není jasné.
11.03.11, 08:17 CC
Pro lidi, kteří nečtou spodky diskusí...
@mity: Co vás vede k přesvědčení, že je úloha postavena na zjišťování maximální míry studentova překvapení? A jak si myslíte, že v psychologii najdete řešení, ke kterému by se nedalo najít stejně platné řešení opačné?
@gavin: První den se psát musí, aby profesor ve dnech následujících mohl rozhodovat například hodem kostky, to taky plyne z vašeho bodu bodu 2. Bod tři není tvrzení, plyne z bodu 2.
10.03.11, 14:44 gavin
Cist zadani?
Profesor žáky vystraší následujícím výrokem:
1) Tento týden si napíšeme písemku.
2) Když ráno přijdete do školy, nebudete nikdy vědět, zda se právě tento den bude psát písemka.
3) Bude to pro vás tedy překvapení.
Ad 1) rika, ze trida, k niz prave mluvi, si v jeho hodinach tento tyden napise alespon jednu pisemku.
Ad 2) rika, ze pisemku lze psat kdykoliv (= i v patek).
Ad 3) Rika, ze pokud by se psala pisemka v patek, pak nebude jedina tento tyden. (= kdyby byla jedina, nebylo by to v patek prekvapeni)
10.03.11, 11:28 mity
překvapení
No, každopádně bude student nejpřekvapenější, když se písemka bude psát v den, v který se (jak si správně či nesprávně odvodil) psát nemůže...
08.03.11, 09:35 CC
@pudilf
Proč je tedy na tomto světe shoda tak vzácná?
08.03.11, 08:28 pudilf
Shoda ?
Pokud se logickou úvahou dospěje k závěru, že se písemka musí psát v den jejího oznámení, tak to není žádné překvapení!
06.03.11, 18:10 Majky_mike
perfekt
... jsem rád, že jsme se nakonec všichni shodli :-).
06.03.11, 11:44 Creator_of_Myths
to Majky_Mike a CC
Myslím, že máte nakonec pravdu. Moje chyba spočívala ve skrytém předpokladu
"písemka se bude psát v některém z následujících dní",
z čehož jsem pak vyvozoval
"písemka se dá psát buď do pátku, nebo v pátek"
a pro pátek jsem správně došel k rozporu axiomů, avšak nevyvodil jsem z toho patřičný závěr, že můj předpoklad je mylný.
mity udělal podobnou chybu, když nechal zkoumání nerozpornosti axiomů dojít až k pátku. Právě z toho, že pro písemku v pátek se axiomy dostávají do sporu, je potřeba vyvodit závěr, že skrytý předpoklad (písemka se může psát i v pátek) je mylný. Jedině pro předpoklad "v pátek se písemka psát nedá" nejsou axiomy ve sporu. Podobně je pak možné vyloučt i další dny, neboť pátek je vyškrtnut nalezením chybného předpokladu a axiomy se dostávají do stejného sporu stále dokola i pro ostatní dny - jen to není při postupu od pondělí k pátku vidět.
Jako jediné řešení pak zbývá to, které je v článku uvedeno - písemka se píše v den, kdy ji profesor oznamuje, protože to je jediný den, pro který platí oba axiomy (písemka se opravdu píše a opravdu je pro žáky překvapením).
Děkuji, že jste mě donutili se nad problémem zamyslet. Teprve když jsem konstruoval podrobný důkaz, abych vám ukázal, jak se pletete, jsem svoji chybu objevil :-)
06.03.11, 10:09 CC
@Creator
Já si také odvážím tvrdit, že rozumím tomu, co se snažíte sdělit, ba dokonce s tím souhlasím, ale trvám na tom, že onen stav, kdy může nastat cokoliv, se týká všech dnů, kromě prvního.
06.03.11, 09:57 Majky_mike
oprava
všeho z bodu 1 :-)
06.03.11, 09:56 Majky_mike
to Creator_of_Myths
Já rozumím tomu co píšete a jak to myslíte... jen s tím nesouhlasím :-).
1) Když se písemka nebude psát dřív než poslední den, musí se psát v den poslední.
2) Když se bude písemka psát poslední den, nebude to překvapení.
3) Poslední den se písemka psát nedá, pokud se nebude psát dřív (výchozí podmínka v bodu 1).
Ano... jenže pokud by pro studenta bylo překvapením, že se písemka píše v den x-1, zároveň by to znamenalo, že student připouští, že se může psát i v den x (protože by předpokládal možnost naplnění všeho z bodu 2... tedy i toho, že se v bod x-1 psát nebude). Jenže tenhle předpoklad vylučuje znalost informace, že v den X se psát nemůže nebo její opomenutí.
Student tuhle informaci má... takže se v n cyklu své úvahy posouvá o x -n.
Zkuste si vzít nějaký lépe uchopitelný model. Máte 2 žárovky s označením 1 a 2. K nim máte 2 vypínače s označením 1 a 2. Vypínač 1 zapíná právě žárovku 1 a vypínač 2 žárovku 2.
Vaším úkolem je nejprve sepnout vypínač 1 a pak vypínač 2. Zároveň máte informaci, že:
- právě jedna žárovka je vadná a nerozsvítí se
- v moment, kdy stisknete vypínač nesmíte mít jistotu, zda se žárovka rozsvítí nebo ne
Když se nad tím zamyslíte, musíte se nutně pohybovat v paradoxu, kde alespoň jeden z výroků není pravdivý.
Rozbitou žárovku by měl ovládat vypínač 1, protože u vypínače 2 si už budete jistý, že musí být k rozbité žárovce (pokud 1 fungoval). Jenže s touhle informací už musíte vyloučit i vypínač 1... to je právě ten paradox (a i důkaz, že x-1 je třeba vyloučit).
06.03.11, 09:37 Creator_of_Myths
to CC
Nikoliv, nikoliv, nikoliv. Ale má chyba, že jsem uvedený postup nenapsal tak, aby bylo zcela zřetelné, kde nastává problém. Takže ještě jednou:
1) Když se písemka nebude psát dřív než poslední den, musí se psát v den poslední.
2) Když se bude písemka psát poslední den, nebude to překvapení.
3) Poslední den se písemka psát nedá, pokud se nebude psát dřív (výchozí podmínka v bodu 1).
Teď už to tam vidíte? Pokud se bude písemka psát například ve čtvrtek, pak není naplněna podmínka v bodu 1) a tudíž není možné pokračovat v usuzování dál a pátek vyškrtnout. Proto se písemka ve čtvrtek psát může.
Ono to není tak, že se písemka v pátek psát nedá, ale že pokud se nebude psát do pátku, vznikne logický rozpor, jak psal mity. A z logického rozporu nevyplývá, že se písemka v pátek psát nedá - vyplývá z něj cokoli, protože je to rozpor.
06.03.11, 08:33 CC
Sudoku?
1) Když se písemka nebude psát dřív než poslední den, musí se psát v den poslední.
2) Když se bude písemka psát poslední den, nebude to ale překvapení.
3) Poslední den se písemka psát nedá.
Bodem tři se vám efektivně o jeden den zkrátí týden v posuzování a můžete vesele začít na novo. Postupně vyeliminujete všechny dny identické a zbyde vám jen den první, jedinečný. Jedinečný rozhodně není den poslední, leda by profesor byl škodolibý, což už by zase bylo z jiného oboru. Vaše tvrzení platí možná tak pro nekonečný týden, v tom opravdu nelze psát jenom v posledním dni (neboť neexistuje).
05.03.11, 20:59 Creator_of_Myths
to Majky_Mike
Viz vaši poslední větu - však ano, o tom to celé je. Vy říkáte, že když se budou brát v úvahu všechny dny "najednou", tak je studentova úvaha správná. A já říkám, že všechny dny "najednou" se v úvahu klidně brát můžou, ale ta úvaha stojí na neúplné premise a je proto chybná.
Student podle vás říká:
1) Když se bude písemka psát poslední možný den, nebude to překvapení.
2) Poslední možný den se písemka psát nedá.
3) Poslední možný den ve skutečnosti možný není.
4) Původně předposlední den se stává posledním možným.
5) Můžeme pokračovat znovu od kroku 1).
Podle mě má student správně říct:
1) Když se písemka nebude psát dřív než poslední den, musí se psát v den poslední.
2) Když se bude písemka psát poslední den, nebude to ale překvapení.
3) Poslední den se písemka psát nedá.
A nikam dál se už nedostane. Protože kdyby začal další indukční krok, nedodržel by tím podmínku stanovenou v kroku 1)
Chápete, jak to myslím?
05.03.11, 19:55 Majky_mike
Creator_of_Myths
Jenže já ani student právě chybu neděláme :-).
V zadání je "nebudete nikdy vědět"... student na problematiku nenahlíží touto jednoduchou cestou, jakou píšete. Takto by to bylo (dle mého názoru, který není slovo boží), pokud by student žil jen okamžikem a neposuzoval celou problematiku v kontextu všech dní. Ale žil pouze tím svým jedním dnem...
Student se ale na problém dívá v celém kontextu... pokud nebude psát po-čt, tak zbývá jen pátek. Tedy se musí psát po-čt. Jenže pak to nemůže být ani čtvrtek... atd.
Vy totiž ve své úvaze neberete na vědomí, že pokud třeba v ten čtvrtek neví, že bude psát... připouští, že může psát i v ten pátek.
05.03.11, 16:29 Creator_of_Myths
to Majky_Mike
Děláte stejnou chybu jako student. Píšete "...za předpokladu informace, že se nemůže psát v pátek..." A právě tento předpoklad je platný pouze tehdy, pokud půjde student v pátek do školy a ví, že písemka dosud nebyla napsána. Tudíž student také ví, že by se musela psát v pátek (profesorův slib, že někdy v týdnu písemka bude), a protože v pátek ráno, kdy jde do školy, to pro něj přestává být překvapení, správně v pátek ráno vysuzuje, že se písemka v pátek psát nedá (profesorův slib, že písemka bude překvapení v den, kdy se bude psát).
Ale co se děje ve čtvrtek, když jde student ráno do školy? Dosud zbývá možnost, že se písemka bude psát jindy než v pátek, a proto není možné uplatnit studentovu úvahu, která by byla platná v pátek. Opět - celé je to o tom, že studentova premisa o pátku je neúplná (platí jen tehdy, pokud se do pátku písemka psát nebude).
05.03.11, 15:45 Majky_mike
nene
nene... studentova premisa chybná být nemusí. Student totiž neposuzuje možnost písemky každý den nezávisle, ale v kontextu možností všech dní.
To je krásně vidět na tom ověření... pokud by se písemka psala ve čtvrtek, student by za předpokladu informace, že se nemůže psát v pátek a nepsala se v po, ú ani ve stř, musel dojít k tomu, že se bude psát právě ve čtvrtek... takže by to pro něj nebylo překvapení.
A díky předpokladu, že v poslední článek nemůže stav nastat se to posouvá až k bodu oznámení.
Takže jediné možné řešení je den oznámení.
05.03.11, 15:06 Creator_of_Myths
Zbytečně to komplikujete
Studentova úvaha je postavená na chybné premise. Kdyby v pátek přišel, věděl by, že se písemka píše, jen pokud ji ještě nepsali. A toto "jen" v článku chybí. Pak se na této chybné premise staví indukce, že se tudíž nedá písemka psát ani ve čtvrtek atd.
Není potřeba, aby učitel lhal, není potřeba zabývat se, z čího pohledu se na problém díváme nebo co si kdo myslí, přeje atd. Je to JENOM chybná (neúplná) premisa a zní vyplývající chybný indukční krok, jak psal mity.
Písemka se nedá psát v pátek, v tom má student pravdu. Ale nijak z toho nevyplývá, že by se nedala psát ve čtvrtek nebo kterýkoli jiný den krom pátku. Ověření je jednoduché - pokud si písemku napíšou ve čtvrtek, přestane předpoklad studentovy úvahy platit a profesor přesto při ohlašování písemky nelže. Hotovo.
05.03.11, 14:31 pavelhouser
no
jde o pretisteni starsiho clanku. mezitim jsem v X knihach narazil na to, ze paradox ma reseni. potiz je v tom, ze kazda kniha uvadela jine :-). mozna je problem skutecne i v tom, ze se v clanku mluvi o budoucich dejich (coz by snad slo preformulovat nejak ve smyslu "zde v obalce je napsan den v tydnu a..."), ale hlavne o mentalnich stavech - co si X mysli, coz uz nemusi s formalni logikou jit uplne dohromady. (co kdyby nejaky student byl dejme tomu hnup, jasne to jde osetrit nejakou dodatecnou podminkou...)
05.03.11, 13:11 CC
Je to v pořádku.
Student postupuje správně (leč nedůsledně) a profesor hraje poctivě. Za předpokladu, že na příslušný týden oznamuje právě jednu písemku, pak za daných podmínek se překvapení může konat právě jenom v ten první den (hádám, že pondělí, ale to je jedno) neboť to oznamuje žákům až po tom, co přišli do školy.
05.03.11, 13:10 Majky_mike
Creator_of_Myths
Na to se ale nedá takhle nahlížet... student na zadání písemky kouká z pohledu zadávajícího.
Jestli jste ochotni připustit, že v X písemku psát nemůže... musíte být ochotni připustit, že se písemka nemůže psát ani v X-1. Student totiž na problém nahlíží očima učitele, který musí dopředu vědět, jaký termín písemky zvolí, aby jeho tvrzení byla pravdivá.
Takže jediné správné řešení může být písemku psát v den jejího oznámení (protože učitel nejistotu studenta specifikoval pro cestu do školy... a informaci předává až ve škole).
Jiná situace by byla, kdyby to žákům učitel oznámil třeba týden dopředu. Pak by se paradox plně rozvinul. Z pravděpodobnostního hlediska by se stále nejednalo z pohledu žáka o paradox, pouze by každým dnem klesala entropie problému. Ale z pohledu učitele by se tento paradox rozvinul...
05.03.11, 07:57 Creator_of_Myths
mity má pravdu
Tedy ve vší skromnosti, myslím že pravdu máme mity a já - studentova úvaha je chybná a o žádný paradox proto nejde. Vysvětlení je to logické a pracuje výhradně se zadáním, žádné další proměnné do problému netahá.
Jen mě zaráží, že na to podle článku ještě nikdo nepřišel.
04.03.11, 21:17 Majky_mike
A přitom je to (alespoň z mé logiky) hodně jednoduché
jestliže student dostal zadání testu hned po této informaci od učitele, všechna jeho slova jsou pravdivá...
- dostal totiž písemku, aniž by ráno věděl, že jí bude psát
- bylo to tento týden
Kde je paradox? :-).
Jediný paradox je totiž v tom, že student v jeden den nedisponoval informací, aby se paradox mohl rozvinout. To je celé.
04.03.11, 18:39 mity
Jiný pohled
Na úvahu v článku se dá dívat jako na matematickou indukci, která je ale požita špatně: je tam důkaz, že v pátek se psát test nemůže. Chybí ale důkaz pro indukční krok, tj. pro tvrzení: "Nemůže-li se psát v den X, pak se nemůže psát ani v den (X-1)".
04.03.11, 18:21 mity
trochu vážněji (doplnění)
Asi by bylo přesnější mluvit o třech axiomech. Dva vizte v předešlém příspěvku.
Axiom 3.: Dnes je X. (za X si každé ráno student dosadí dnešní den)
Pro X v množině { ponděli, úterý, středa, čtvrtek } jsou ty tři axiomy navzájem nerozporné.
Pro pátek to neplatí, protože z axiomů 1 a 3 plyne "dnes se píše" a tato jistota je v rozporu s axiomem 2.
04.03.11, 18:07 mity
trochu vážněji
Matematická logika je použitelná jen v případě, že vyjdeme z navzájem nerozporného souboru axiomů. Zde máme axiomy dva:
1. V tomto týdnu bude písemka.
2. V den písemky ten fakt, že je písemka, bude překvapivý (tj. předem si ráno si žáci nemohou být jisti, zda se píše, či nikoliv).
Pokud se bude písemka psát v rozmezí pondělí až čtvrtek, je vše v pořádku (žáci budou překvapeni, protože profesor mohl test odložit na jiný den toho týdnu).
Pokud by se ale stalo, že do čtvrtka včetně žádná písemka nebyla, pak v pátek ráno nemohou z těchto axiomů žáci vyvozovat nic (respektive mohou vyvozovat cokoliv), protože axiomy jsou ve vzájemném rozporu.
A zde je podle mně úvaha v článku špatně: Tento rozpor je tam pouze v pátek; nejde ho indukcí přenášet na předešlé dny.
04.03.11, 17:46 mity
překvápko
Jestli třeba to překvápko páně profesorova nespočívá v tom, že jeho výhrůžka neomezuje počet písemek. Zadání lze chápat jako "v tomto týdnu napíšeme [alespoň jednu] písemku."
Pokud by žádnou písemku nepsali do čtvrtka včetně, pak by nutně žáci nemohli v pátek býti překvapeni, že se píše. Naopak, pokud jim písemku dá kantor třeba v úterý, může jim pak překvapení naservírovat ještě třikrát ;-)
04.03.11, 17:10 kamtar
...
nn profesor musí prostě lhát pokud by řekl že to bude pro náš pravděpodobně překvapení tak by to by v pořádku neboť by zahrnoval i ten jeden případ ten pátek kdy by to pro nás překvapení nebylo a ostatní dny by zůstali nedotčeny.
Ale tohle tvrzení že to pro nás musí být překvapení je prostě nelogický a nemožný.
04.03.11, 16:18 Petr
Profesor si hraje na věštce:-)
Profesor tvrdí: "Tento týden si napíšeme písemku." To je samozřejmě nesmysl, to nemůže vědět jistě. Zhatit to můžou věci od jeho chřipky, až po srážku Země s obřím asteroidem. Profesor je mírně dogmatický. Seriózní by bylo říci: "Chtěl bych, abychom si tento týden napsali písemku."
Petr:-)
04.03.11, 15:03 Creator_of_Myths
Nejde o paradox
To není žádný paradox a profesor ani nemusí lhát, jde jen o chybný směr studentova vysuzování.
Kdyby student přišel v pátek do školy, věděl by, že se písemka musí psát tento den, jen za podmínky, že se písemka DOSUD NEPSALA. Proto když přijde do školy ve čtvrtek, klidně může písemku dostat. Žádný úsudek týkající se pátku tomu nezabrání.
Je to stejné jako paradoxy Zenóna z Eleje - ukazují, jak se o problému NEMÁ přemýšlet, protože byste uvízli v rozporu.
Napsat vlastní komentář
Pro přidání příspěvku do diskuze se prosím přihlašte v pravém horním rohu, nebo se prosím nejprve registrujte.