Student World

pravidelné páteční „přetištění“ staršího článku

Listy na stonku rostliny nebo větvičky na větvi mají sklon růst tak, aby je to co nejvýhodněji vystavovalo působení slunce, deště a vzduchu. Vertikální stonek při svém růstu vytváří listy ve zcela pravidelném rozmístění. Listy však nerostou přímo jeden nad druhým, protože to by bránilo spodním listům získat potřebnou vláhu a sluneční svit. Přechod od jednoho listu k dalšímu (nebo od jedné větvičky k další) má charakter šroubovitého výstupu kolem stonku . Podobné uspořádání opakujících se částí nalezneme u šupin borovicové šišky nebo u semen slunečnice. Tento jev se nazývá fylotaxe (z řeckého „uspořádání listů“), což je termín, který zavedl v roce 1754 švýcarský přírodovědec Charles Bonnet (1720–1793). Listy lípy se například většinou vyskytují na dvou protilehlých stranách; to odpovídá jednomu listu na polovinu otočky kolem větvičky a označuje se jako 1/2 fylotaktického poměru. U jiných rostlin, například lísky, ostružiny a buku, následuje jeden list za dalším po třetině obrátky (1/3 fylotaktického poměru). Jabloně, pobřežní živé duby (Quercus agrifolia) a meruňka mají listy po každých 2/5 jedné otočky spirály, zatímco hrušně a smuteční vrby je mají každé 3/8 obratu.

Skutečnost, že se listy rostlin řídí určitým schématem, jako první zpozoroval již ve starověku Theofrastos (asi 372 př. n. l. – asi 287 př. n. l.) ve spise De causis plantarum (O rostlinách). Theofrastos o rostlinách píše: „Ty, co mají listy ploché, je mají v pravidelných řadách.“ K podobnému poznatku dospěl Plinius starší (23–79 n. l.) ve svém monumentálním díle Naturalis historia (Přírodověda), kde mluví o „pravidelných rozestupech“ mezi listy „uspořádanými otáčivě kolem větví“. Výzkum fylotaxe za tato raná kvalitativní pozorování příliš daleko nepokročil až do 15. století, kdy Leonardo da Vinci (1452–1519) připojil k popisu uspořádání listů kvantitativní prvek tím, že rozpoznal jejich seřazení podle spirály v cyklech po pěti (odpovídajících úhlu 2/5 otáčky). První, kdo (intuitivně) objevil vztah mezi fylotaxí a Fibonacciho čísly, byl astronom Johannes Kepler. Kepler napsal: „Schopnost množení podle mého názoru dostala formu podobnou této samovolně se rozvíjející řadě [tj. rekurzivní vlastnosti Fibonacciho posloupnosti]; proto se v květině vyjevuje pětiúhelník, autentický příznak této schopnosti.“

Zásadní výzkum fylotaxe zahájil Charles Bonnet. Ve své knize Recherches sur l´Usage des Feuilles dans les Plantes (Výzkum využívání listů u rostlin) podává Bonnet přehledný popis dvoupětinové fylotaxe. Bonnet ve spolupráci s matematikem G. L. Calandrinim asi také objevil, že u některých rostlin, například u šupin jedlových šišek nebo ananasu, se objevují série druhotných spirál (takzvané parastichy).

Historie skutečně matematické fylotaxe (oproti čistě popisným přístupům) začíná v 19. století pracemi botanika Karla Friedricha Schimpera (publikovanými v roce 1830), jeho přítele Alexandra Brauna (1835), krystalografa Augusta Bravaise a jeho bratra, botanika Louise (1837). Tito badatelé nalezli obecné pravidlo, podle něhož se dají fylotaktické poměry vyjádřit jako poměry členů Fibonacciho posloupnosti (jako 2/5, 3/8). Navíc si povšimli výskytu Fibonacciho čísel u parastichů borových šišek a ananasů.

Skutečně skvostnou ukázku fylotaxe založené na Fibonacciho číslech představují kůry ananasů. Každý šestiúhelníkový dílek na povrchu ananasu je součástí tří různých spirál. Počty spirál jsou všechny Fibonacciho čísly.

Jak rostliny vědí, že mají řadit listy podle fibonacciovských vzorů? Růst rostliny se odehrává na vrcholu stonku (tzv. meristém), který má kónický tvar (nahoře je nejtenčí). Listy vzdálenější od vrcholu (tedy ty, které vyrostly dříve), mají při pohledu z vrcholu tendenci být paprskovitě dále od středu stonku (protože stonek je tam tlustší).

/omluva, bez průvodních obrázků zde možná obtížně představitelné/

Jako první zdůraznil význam tohoto typu znázornění pro pochopení fylotaxe botanik Arthur H. Church v knize On the Relation of Phyllotaxis to Mechanical Laws (O vztahu fylotaxe k zákonům mechaniky) z roku 1904. List číslo 0, který vyrostl jako první, je od meristému a také od středu stonku nejdále. Celkově zjišťujeme (představíme-li si křivku, která spojuje listy 0 až 5), že za sebou jdoucí listy se nacházejí na hustě vinuté spirále, takzvané genetické spirále. Důležitou veličinou, která je pro umístění listů typickým znakem, je úhel mezi spojnicemi středu stonku a následných listů. Bratří Bravaisové ve své práci z roku 1837 mimo jiné objevili, že nové listy vyrůstají zhruba ve stejném úhlu kolem středu a že tento úhel (takzvaný divergenční úhel) se obvykle blíží hodnotě 137,5 stupně. Bude to pro vás ještě šok, když uslyšíte, že tento úhel je určen zlatým řezem? Úhel, který dělí celou otočku ve zlatém řezu, je totiž 360°/φ = 222,5 stupně. Jelikož je to více než polovina kruhu, měli bychom to měřit v opačném směru. Jinými slovy, měli bychom od 360 odečíst 222,5. Dostaneme tak úhel 137,5 stupně, někdy nazývaný zlatý úhel.

Německý matematik G. van Iterson v průkopnickém díle z roku 1907 ukázal, že když těsně seskupíme po sobě jdoucí body, které se na hustě vinuté spirále vydělují v úhlech 137,5 stupně, pak spatříme jednu skupinu spirál směřujících podle hodinových ručiček a druhou mířící opačným směrem. Počty spirál obou těchto skupin mají tendenci být následnými Fibonacciho čísly, protože poměr těchto čísel se blíží zlatému řezu.

Takové opačně směřující spirály se nejnápadněji zjevují v uspořádání semínek slunečnice. Podíváme-li se na květ slunečnice (obrázek 34), všimneme si spirálovitých tvarů, které semínka tvoří jak po směru hodinových ručiček, tak opačným směrem. Je zjevné, že semínka rostou tak, aby co nejefektivněji využila horizontálního prostoru. Počty těchto spirál obvykle závisejí na velikosti slunečnice. Nejobvyklejším vzorem je 34 spirál mířících jedním směrem a 55 spirál s opačným směrem, našly se však i slunečnice s poměry počtů spirál 89/55, 144/89 a dokonce 233/144 (nejméně jedna, kterou popsal jeden manželský pár z Vermontu v časopise Scientific American v roce 1951). To všechno jsou samozřejmě poměry sousedních Fibonacciho čísel. U největších slunečnic přechází tato struktura při pohybu od středu k okrajům od jednoho páru Fibonacciho čísel k sousednímu vyššímu páru.

Fibonacciho čísla a souvislosti se zlatým řezem ukrývají rovněž počty okvětních plátků a jejich uspořádání u některých květin. Spousta lidí se v určité chvíli svého života snažila získat z počtu plátků sedmikrásek odpověď na zásadní otázku: „Má mě rád(a), nemá mě rád(a)?“ Většina sedmikrásek má 13, 21, nebo 34 plátků, což jsou všechno Fibonacciho čísla. (Nebylo by pěkné znát dopředu, zda má sedmikráska sudý, nebo lichý počet plátků?) Počet plátků přitom odráží počet vyvinutých spirál v květním lůžku.

Na zlatém poměru je rovněž založeno nádherně symetrické uspořádání okvětních plátků růže. Přesné pozice jejích hustě seskupených plátků objevíme, jestliže růži rozebereme (plátek po plátku).

To vše ukazuje, že 2 300 let stará hádanka původu fylotaxe se redukuje na následující základní otázku: Proč jsou za sebou sobě řazené listy oddělené zlatým úhlem 137,5 stupně? Snahy o odpověď na tento problém se dělí do dvou skupin: Jedny teorie se soustředí na geometrii této konfigurace a na jednoduchá matematická pravidla, která mohou tuto geometrii generovat; druhý typ modelů mluví o skutečné, dynamické příčině pozorovaného jevu. Přelomové práce prvního typu (např. práce matematiků Harolda S. M. Coxetera a I. Adlera a krystalografa N. Riviera) ukazují, že pupeny umístěné podél genetické spirály jsou seskupeny nejefektivněji, když jsou odděleny zlatým úhlem. Snadno pochopíme, proč tomu tak je. Kdyby byl divergenční úhel řekněme 120 stupňů (což je 360/3) nebo jakýkoliv jiný racionální násobek 360 stupňů, pak by se listy seřazovaly paprskovitě (v případě 120 stupňů podél tří linií) a mezi nimi by zůstávalo hodně volného místa. Naopak divergenční úhel ve zlatém řezu (což je iracionální násobek 360 stupňů) zajišťuje, že pupeny se neseskupí podél žádného specifického paprskovitého směru, takže celý prostor vyplní efektivně. Zlatý úhel se ukazuje být lepším než jiné iracionální násobky 360 stupňů proto, že zlatý řez je nejiracionálnější ze všech iracionálních čísel, a to v následujícím smyslu. Připomeňme si, že zlatý řez je roven řetězovému zlomku, sestavenému jen z čísla 1. Takový řetězový zlomek konverguje pomaleji než jakýkoli jiný řetězový zlomek. Jinak řečeno, zlatý řez má ze všech iracionálních čísel nejdále k tomu, aby se dal vyjádřit jako běžný zlomek.

Ve studii, která se objevila v roce 1984 v Journal de Physique, použil tým fyziků, vedený N. Rivierem z Université de Provence v Marseille, jednoduchý matematický algoritmus, aby ukázal, že když se použije růstový úhel rovný zlatému úhlu, vzniknou struktury, které se velmi nápadně podobají skutečným slunečnicím. Rivier a jeho spolupracovníci předložili hypotézu, podle níž je právě toto odpovědí na otázku, položenou klasickým dílem biologa D´Arcy Wentwortha Thompsona. Ve své obsáhlé knize On Growth and Form (O růstu a formě, kniha poprvé vyšla roku 1917, revidované vydání je z roku 1942) Thompson uvažuje: „ …a neméně zvláštním rysem této věci [fylotaxe] je omezený a dokonce dosti malý počet možných uspořádání, která můžeme pozorovat a rozeznat.“ Rivierův tým zjistil, že požadavky homogenity (aby byla všude stejná struktura) a soběpodobnosti (aby struktura vypadala v různých měřítcích přesně stejně) počet možných struktur razantně omezují. Tyto dvě vlastnosti mohou dostačovat k tomu, aby u fylotaxe vysvětlily převahu Fibonacciho čísel a zlatého řezu, stále ještě však nenabízejí žádnou fyzikální příčinu skutečného vzniku celého uspořádání.

Nejlepší vodítka k dynamické příčině fylotaxe nevycházejí z botaniky, ale z fyzikálních experimentů L. S. Levitova (z roku 1991) a Stephane Douadyho a Yvese Coudera (z let 1992 a 1996). Zvláště pozoruhodný je experiment, v němž Douady a Couder umístili mísu plnou silikonového oleje do magnetického pole, které bylo silnější při krajích než ve středu. Do středu mísy pak byly vypouštěny kapky magnetické kapaliny, která fungovala jako drobné tyčinkové magnety. Tyto magnetky se vzájemně odpuzovaly a sklon magnetického pole je vytlačoval paprskovitě k okrajům. Douady a Couder nalezli pravidelné pohyby, které oscilací konvergovaly ke spirále, na níž se ve zlatém úhlu oddělovaly jednotlivé po sobě jdoucí kapky. Fyzikální systémy se obvykle stabilizují ve stavech, které minimalizují požadavky na energii. Popsaný jev by tak vysvětlovala hypotéza, podle níž fylotaxe u soustavy vzájemně se odpuzujících pupenů zkrátka představuje stav minimální energie. Také jiné modely, v nichž se listy objevují na místech nejvyšší koncentrace některých živin, mají tendenci vytvářet separace ve zlatém úhlu.

Až budeme příště jíst ananas, posílat růži své milované nebo obdivovat van Goghovy slunečnice, snad si vzpomeneme, že v modelu růstu těchto rostlin je ztělesněno zázračné číslo zvané zlatý řez. Uvědomme si však, že růst rostlin závisí i na jiných faktorech než na optimálním rozmístění. Pravidla fylotaxe, která jsme zde popisovali, proto nelze uplatnit za všech okolností, jako by byla obecným přírodním zákonem. Jak řekl kanadský matematik Coxeter, tato pravidla jsou spíše „pouze fascinující převládající tendencí“.

Botanika není jedinou oblastí přírody, kde najdeme zlatý řez a Fibonacciho čísla. Tyto vztahy můžeme pozorovat u různých jevů a v celé škále velikostí, od mikroskopických částic až po gigantické galaxie. Velmi často při tom na sebe berou podobu skvostné spirály.

Úryvek z knihy

Mario Livio: Zlatý řez
Argo a Dokořán 2006
O knize na stránkách vydavatele

autor