Student World

Některé věty vyšší matematiky připadají mnoha lidem tak zřejmé, že nemohou pochopit, proč by je bylo třeba dokazovat. Často se ptají: „Když už tohle není zřejmé, tak co tedy zřejmé je?“
Můj bývalý kolega na to měl dobrou odpověď, že zřejmé je takové tvrzení, u kterého nás ihned napadne důkaz.
Uvedu tři příklady tvrzení, která jako zřejmá vypadat mohou, ale toto kritérium nesplňují.

Základní věta aritmetiky
praví, že každé přirozené číslo se dá jednoznačně vyjádřit jako součin prvočísel, jednoznačně až na pořadí činitelů. Například 36=2*2*3*3, 74=2*37 a 101 samo je prvočíslo (což v této situaci bereme jako „součin“ jediného prvočísla). Když vyzkoušíme takových malých čísel několik, brzy uvěříme, že nikdy nenajdeme dva různé rozklady jednoho čísla na prvočinitele. To je jádro základní věty aritmetiky a nevypadá to, že by se vůbec muselo dokazovat.

Ale je to opravdu tak jasné? Čísla 7, 13, 19, 37 a 47 jsou prvočísla, a je-li tedy základní věta aritmetiky zřejmá, mělo by být jasné, že 7 * 13 * 19 se nerovná 37 * 47. Samozřejmě můžeme zkontrolovat, že tyto součiny jsou různá čísla (jedno z nich, jak by potvrdil každý matematik, je zajímavější než to druhé), ale to neukazuje, že bylo jasné, že rovnat nemohou nebo že nemůžeme najít nějaké dva jiné součiny prvočísel, které se rovnat budou.
Ve skutečnosti věta žádný snadný důkaz nemá, a jestli vás důkaz hned napadl, tak máte nápady opravdu NEVŠEDNÍ.

Trojlístek
Uvážeme na kusu provázku běžný ševcovský uzel a potom spojíme konce dohromady, čímž dostaneme objekt znázorněný na obrázku, v matematice známý jako trojlístkový uzel. Dá se uzel rozvázat, aniž bychom provázek přestřihli? No jasně, že ne.

Proč máme sklon říct „jasně“? Napadá nás okamžitě nějaký argument? Možná ano – zdá se, že každý pokus uzel rozvázat nutně provázek zamotá ještě víc. Ale z toho je těžké udělat skutečný důkaz. Doopravdy jasné je jen to, že se uzel nedá rozvázat jednoduše. Svízelné je vyloučit takový způsob rozvázání, kdy uzel napřed mnohem víc zamotáme. Připouštím, že to nevypadá pravděpodobně, ale s takovými jevy se v matematice setkáme, a v běžném životě také: třeba když uklízíme pokoj (pořádně, ne jen tak, že všechno nacpeme do skříní), většinou nezbývá než nejdřív nadělat ještě větší nepořádek.

Protínání křivky
Křivka v rovině je cokoliv, co se dá nakreslit jedním tahem, aniž bychom zvedli tužku z papíru. Křivka se nazývá jednoduchá, pokud sama sebe nikde neprotíná, a uzavřená, pokud začíná a končí ve stejném bodě. Tuto definici ilustruje obrázek. První z křivek, jež je jak jednoduchá, tak uzavřená, ohraničuje oblast roviny, které se říká vnitřek křivky. Je jasné, že každá jednoduchá uzavřená křivka rozděluje rovinu na dvě části, vnitřní a vnější oblast (nebo na tři části, když křivku samotnou počítáme za jednu část).

Je to skutečně tak jasné? Určitě ano, pokud křivka není moc komplikovaná.
Ale co křivka na tomto obrázku?

Když zvolíme bod někde uprostřed, není vůbec vidět, jestli leží uvnitř, nebo vně. Někdo může namítnout, že i když to třeba vidět není, křivka určitě nějaký vnitřek a vnějšek má, přestože se kvůli její složitosti těžko odlišují pohledem.
Čím můžeme takové přesvědčení podepřít?
Mohli bychom se pokusit rozlišit vnitřek od vnějšku následovně.
Když na chvíli předpokládáme, že pojmy vnitřek a vnějšek smysl mají, při každém překročení křivky musíme přejít z vnitřku do vnějšku nebo naopak.
Takže když chceme zjistit, jestli je nějaký bod P uvnitř nebo vně, stačí nakreslit úsečku, která začíná v bodě P a končí v nějakém bodě Q zjevně ležícím vně. Jestliže úsečka protíná křivku v lichém počtu bodů, leží P uvnitř, a jinak vně.
To může vypadat jako slibný přístup, ale potíž je, že přitom považujeme za samozřejmé některé věci, které zdaleka samozřejmé nejsou.
Odkud například víme, že když nakreslíme z bodu P jinou úsečku, končící v nějakém bodě R, nedostaneme jinou odpověď? (Nedostaneme, ale muselo by se to dokázat.) Tvrzení, že každá jednoduchá uzavřená křivka má vnitřek a vnějšek, je proslulé a známé jako Jordanova věta o kružnici. I kdyby nám připadalo sebezřejmější, všechny známé důkazy jsou tak náročné, že se do knížky podobné této rozhodně nehodí.

Tento text je úryvkem z knihy:
Tim Gowers: Matematika – průvodce pro každého
podrobnosti o knize http://www.dokoran.cz/index.php?Matematika&p=book.php&id=246

Anotace:
Matematiku v té či oné podobě každý z nás denně používá, přesto však paradoxně v řadě lidí budí strach či odpor. Timothy Gowers, profesor matematiky na univerzitě v Cambridge a nositel Fieldovy medaile (matematická obdoba Nobelovy ceny), ve své knize ukazuje hlavní rozdíly mezi matematikou, jak ji dělají profesionálové, a tím, co se vyučuje ve školách. Autor postupně čtenáři představí tvorbu matematických modelů, pojetí čísel, principy matematické abstrakce, podstatu matematického důkazu, limity, pojetí nekonečna a základy geometrie. V této knize se mj. dozvíte: – Jak dokázat iracionalitu zlatého řezu – Proč je v matematice tak málo žen – Jak se naučit manipulovat s mnohorozměrnými objekty – Zda slavné matematické problémy mohou vyřešit amatéři.

autor