Student World

V článku o počátcích staroegyptského státu

http://www.scienceworld.cz/sw.nsf/ID/E356FA9F7304436AC1256EDE00469D46?OpenDocument

a následné diskusi jsme se mj. dostali k některým otázkám týkajícím se starověké matematiky. Uměli Egypťané odmocňovat? Jak přesně znali hodnotu čísla Pí?

Podle informací od egyptoložky Hany Vymazalové je situace přibližně následující:
Symbolické zápisy (např. "písmena" zastupující proměnné apod.) se nepoužívaly, postup řešení se popisuje slovně.

K tomu pak poznámka Pavel Houser: V Zamarovském (Jejich veličenstva pyramidy) jsem se díval na citát postupu výpočtu z Rhindova(?) papyru a onen slovní popis, v tomto případě pro výpočty výšky jehlanu (zadána podstava a "rychlost zužování") se pohybují na hranici srozumitelnosti, protože se zde mísí vlastní výpočet spolu se specifickými operacemi danými egyptskou číselnou soustavou. Asi jako kdyby vám někdo takový postup vysvětloval současně s principy násobení v římských číslicích (jednodušší případ ještě viz dále).

Opět Hana Vymazalová:
Výpočet kruhu byl přibližný, počítal se převedením kruhu na čtverec o přibližně stejném obsahu – strana čtverce byla rovná 8/9 průměru kruhu. Chyba je v podstatě zanedbatelná, tento postup odpovídá Pí = 3,16.
Samotná představa Pí jako čísla ale nebyla Egypťanům vlastní. Je předmětem diskusí, jakým způsobem egyptští písaři došli k popsanému postupu.

Pro zajímavost jedna úloha: Metoda výpočtu (obsahu) kruhové plochy o (průměru) 9 chet. Jaký je obsah její plochy?
Řešení: Odečti 1/9 z toho, je to 1, zbytek je 8. Počítej s 8 8krát, vyjde 64. To je její obsah: 64 secat.
Našimi slovy 9-(1/9.9) je obsah odpovídajícího čtverce, poté už jen "na druhou".

Co se týče výpočtu válce (viz také výše): Příklady s válci jsou nadmíru zajímavé ani ne tak vlastním vzorečkem (tento je jednoduchý), ale spíše převáděním jednotek (vztahem mezi jednotkami délkovými a objemovými).

Odmocňování staří Egypťané prováděli a měli pro ně speciální výraz, ale v dochovaných příkladech jsou odmocňovány jen "neproblematické" hodnoty (třeba 16).

Téměř všechny ukázky z dochovaných staroegyptských textů + překlad a komentář mohou zájemci najít v diplomové práci H. Vymazalové, která je k dispozici v Českém egyptologickém ústavu (http://egyptologie.ff.cuni.cz/).

K tomu ještě poznámka Pavel Houser o matematice babylonské: V populární literatuře (dále vesměs podle Klíma: Lidé Mezopotámie) jsem našel, že ve staré Mezopotámii měli pro odmocňování zvláštní tabulky, v principu snad podobné pozdějším logaritmickým. Pí odhadli hůře něž Egypťané, asi na 3, ale znali ho jako číslo.
Narazil jsem na jeden velmi zajímavý příklad: Vypočtěte strany obdélníku, pokud je znám jeho obsah a úhlopříčka. Bohužel nevím, jak to přesně řešili, ale na pohled to vypadá tak, že k tomu musíte znát Pythagorovu větu (to abyste následující soustavu vůbec sestavili), řešení soustavy dvou rovnic o dvou neznámých, substituci (jinak 4. stupeň) a řešení kvadratické rovnice:

a * b = X
a exp 2 + b exp 2 = Y exp 2,
X a Y jsou zadané hodnoty.

Ale pravděpodobně se to řešilo pomocí nějakých tabelovaných hodnot nebo zkusmo. Např. tak, že z obsahu tipnete možnou dvojici stran, pak to nakreslíte a odečtete úhlopříčku, zda odpovídá zadání…

autor Pavel Houser