Student World

Co Goedelův teorém netvrdí? Je v rozvoji čísla PI někde trojčíslí 666? Proč se paradoxů nelze zbavit zákazem autoreferenčních vět? Několik zajímavostí, paradoxů a logických hříček, které jsme sebrali z knihy Logika.

Paradox lháře
Od antiky jsou známé paradoxy ve stylu "Jeden Kréťan řekl, že všichni Kréťané jsou lháři." Možná nejkrystaličtějším případem těchto výroků je věta "Tato věta je nepravdivá." Logikové se "paradoxu lháře" snažili vyhnout zákazem autoreferenčních vět. Problém však takto snadno vyřešit nelze.
Představte si, že první člověk drží tabulku s nápisem "druhá tabulka je nepravdivá" a druhý tabulku s nápisem "první tabulka je pravdivá". Opět se dostáváme ke sporu, úplně stačí, pokud na sebe věty odkazují (referují) křížem.
Russel se domníval, že výroky typu "Tato věta je nepravdivá" mají ve skutečnosti dva různé predikáty:
– Toto je věta
a
– Věta není pravdivá.
Takové vícepredikátové výroky jsou podle něj nepřípustné.
Něco podobného tvrdil Tarski: "je pravdivá" není podle něj predikátem jazyka, ale metajazyka. Výroky z obou těchto kategorií nelze míchat. Zde mimochodem vyvstává otázka nekonečného regresu. Můžeme totiž nějak popisovat i výroky v metajazyce (např. opět z hlediska jejich pravdivosti) a dojít k meta-meta-jazyku atd.

Co Goedelův důkaz neříká
Z Goedelova důkazu o neúplnosti nevyplývá nic o tom, že bychom místo přesných matematických důkazů měli používat jakousi tajemnou intuici. Tato interpretace, ačkoliv se s ní lze někdy setkat, je chybná.
Goedelův důkaz neznamená ani to, že by vědomí nešlo vysvětlit fyzikálními pojmy. "Vrhá to však pochybnosti, zda je vůbec možný nějaký systém pravidel, který by formalizoval libovolnou větu." Goedelův důkaz platí spíše pro systémy typu matematiky či jazyka, nemá zřejmě žádnou bezprostřední "fyzikální" interpretaci.
(Další paradox, k němuž se dostaneme někdy jindy: Chaim Gaifman nedávno konstatoval, že Gödelova věta namísto tvrzení „nejsme stroje“ ukazuje, že „jsme stroje, které nemohou vědět, že jsou stroje“. :-))

Fuzzy střípek
"Fuzzy logika nám umožňuje říci o oválu, že je kulatější než čtverec, a to i přesto, že ani jeden z nich kulatý není."
(Poznámka: Zde by zase stálo za úvahu zmínit kognitivivní struktury, jako je "prototyp" – vrabec je v této logice také "více pták" než tučňák, ač ptáky jsou oba; podobnost s kulatostí oválu je nasnadě).

Ďábelské PI
Vyskytuje se v rozvoji čísla PI posloupnost 666? Samozřejmě ji můžeme prostě najít v desetinném rozvoji a tím celý problém jednoznačně vyřečit, ale co když řetězec 666 prostě nenalezneme? Můžeme uvažovat, že – protože rozvoj čísla PI je nekonečný a neperiodický – tři šestky tam někde určitě budou (stejně jako tam někde bude i milion šestek za sebou). Je ale takové uvažování oprávněné? Intuicionistická logika tvrdí, že zákon o vyloučení třetího se v matematice nesmí použít na nekonečné množiny či posloupnosti.
(Tady mě mimochodem napadá zajímavá otázka: je možné, že by rozvoj nějakého čísla byl neperiodický a nekonečný, ale zcela v něm chyběla nějaká číslice? Takový rozvoj by pak ale zřejmě nebyl vlastností čísla, ale základu použité soustavy. Pokud bychom použili soustavy o jiném základu než 10, mohla by nám pak scházet číslice jiná? Ale taková "polouspořádanost" asi existovat nemůže…).

Zdroj:
Dan Cryan, Sharron Shatil, Bill Mayblin: Logika, Portál, Praha, 2003, podrobnosti: http://obchod.portal.cz/Kniha.asp?Csl=9683
Omlouváme se za problémy s přidáváním komentářů k článkům. Komentáře prosím zasílejte e-mailem na pavel_houser@idg.cz.

autor Pavel Houser