Student World

S nekonečny zřejmě poprvé počítáme, když se učíme pracovat s limitami. Dalším vstupem tohoto fenoménu do výuky matematiky pak bývají věty o kardinalitách. Aneb: Je stejně sudých a celých čísel? A je stejně čísel reálných?

Kardinalita je vlastnost, která vyjadřuje řád/mohutnost nekonečna. Všechna nekonečna totiž nejsou "stejně velká", reálných čísel je třeba z řady důvodů více než celých (například proto, že celá čísla je na rozdíl od těch reálných možné seřadit, tj. říct "a mezi těmito dvěma žádné není" – celých čísel je také na konečném kousku číselné osy konečný počet, reálných je na libovolném úseku osy nekonečno – reálná čísla vlastně "jsou" všemi body osy).
Sudých čísel je v rámci teorie kardinalit stejně jako celých,.totéž platí pro čísla racionální (tedy vlastně zlomky – i ty můžeme seřadit, aniž nějaký vynecháme – 1/1, 2/1, 1/2, (2/2) 1/3, 2/3, (3/3) 3/1, 4/1, 3/2, 2/3, 1/4…).
Otázkou je, zda existují množiny, které se svou kardinalitou nacházejí právě mezi skupinou čísel celých a reálných. Slavný matematik George Cantor byl přesvědčen, že nikoliv. Nebyl však schopen své intuitivní přesvědčení matematicky dokázat a při řešení problému zešílel. A pokud je mi známo, problém nebyl vyřešen dodnes.
Autor tohoto článku se ke své hanbě ovšem musí přiznat, že přese všechno (opakované matematické důkazy) má podprahový pocit, že čísel celých je dvakrát více než těch sudých. Číselnou osu si přece můžeme snadno rozdělit na libovolné pravidelné díly a je jednoduché ukázat, že v každém z těchto dílů je celých čísel dvakrát víc než sudých.

autor Pavel Houser