Student World

Srovnávání nekonečných čísel je jak známo ošidné. Ve vesmírech, jež jsou součástí konkrétních multivesmírů, může jít o velmi důležitou komplikaci.

Vezměte si inflační multivesmír. Podíváte-li se na celou kostku kosmického ementálu z pohledu nějakého imaginárního vnějšího pozorovatele, uvidíte, jak roste a donekonečna produkuje nové vesmíry. Proto také ten přívlastek „věčná“ ve výrazu „věčná inflace“. A navíc z pohledu pozorovatele uvnitř skrývá každá vesmírná bublina nekonečný počet různých oblastí poskládaných do sešívaného multivesmíru. Chceme-li něco předpovídat, nutně se musíme utkat s nekonečným počtem vesmírů.

Kde se skrývá ten matematický problém? Představte si, že jste se přihlásili do americké soutěže Udělejme obchod (Let’s Make a Deal) a právě jste v ní vyhráli neobvyklou cenu: nekonečnou množinu obálek, z nichž první obsahuje 1 dolar, druhá 2 dolary, třetí 3 dolary a tak dále. Za vzrušeného pokřiku obecenstva vám dá moderátor Monty Hall na vybranou. Buď si cenu necháte, nebo svolíte, aby moderátor zdvojnásobil obsah každé obálky. Nejdříve vám proletí hlavou, že byste takovou nabídku měli přijmout. „Každá obálka bude obsahovat více peněz než dříve,“ uvažujete, „takže to musí být správný tah.“ Kdyby byl obálek jen konečný počet, tak by to opravdu byl správný tah. Nahradit obálky obsahující 1, 2, 3, 4 a 5 dolarů obálkami s 2, 4, 6, 8 a 10 dolary nepopiratelně dává smysl. Ale když si všechno znovu promyslíte, začnete váhat, protože případ nekonečně mnoha obálek zas tak jednoznačný není.

„Když nabídku přijmu,“ uvažujete, „zůstanou mně obálky obsahující 2, 4, 6 dolarů a tak dále, tedy všechna možná sudá čísla. Ale když se spokojím s tím, co mám, obálky pokryjí všechna přirozená čísla, jak sudá, tak lichá. Takže když na nabídku kývnu, odstraním ze svého portfolia obálky s lichým počtem dolarů. A to jako chytré investiční rozhodnutí nevypadá.“ Zatočí se vám hlava.

Srovnáte-li obálky po jedné, nabídku považujete za přitažlivou. Podíváte-li se na celé množiny obálek, nabídka se vám už tak lákavá nezdá. Vaše dilema ilustruje třetí druh matematické léčky, která komplikuje snahu srovnat nekonečné množiny. Publiku dochází trpělivost, a vy se tedy už musíte rozhodnout, ale vaše zhodnocení nabídky závisí na způsobu, jak obě možné výhry srovnáte.

Podobná nejednoznačnost znepříjemňuje i srovnání ještě základnější vlastnosti nekonečných množin: počet jejich prvků. Příklad s televizní soutěží ilustruje i tento problém. Kterých čísel je víc, celých, nebo sudých? Většina lidí by řekla, že celých čísel je více, protože pouze polovina z nich jsou čísla sudá. Ale vaše setkání s Montym vás naučilo uvažovat jinak, chytřeji. Představte si, že Montyho nabídku přijmete a získáte tak obálky se všemi sudými dolarovými sumami. K tomu jste nemuseli žádné obálky vrátit ani vám žádné nepřibyly, protože Monty jednoduše peněžní obsah každé obálky zdvojnásobil. Můžete tedy usoudit, že počet obálek potřebných k pokrytí všech celých čísel je stejný jako počet obálek potřebných k pokrytí všech sudých čísel – což naznačuje, že počty prvků v obou množinách jsou stejné. A to je divné.

Jednou metodou srovnání – spočtením obálek, které potřebujete k tomu, aby všechna čísla v každé množině čísel byla zastoupena – jste vedeni k závěru, že množina celých čísel a množina sudých čísel mají stejnou velikost.

Každé celé číslo je spárováno s nějakým sudým číslem a naopak; to naznačuje, že velikosti obou množin jsou shodné.

Můžete dokonce najít způsob, jak se přesvědčit, že sudých čísel je více než čísel celých. Představte si, že vám Monty nabídl zečtyřnásobit v každé obálce sumu, o niž šlo na začátku, takže by v první byly 4 dolary, v druhé 8 dolarů, v třetí 12 dolarů a tak dále. Protože počet obálek v nabídce se ani teď nemění, naznačuje to, že počet celých čísel, které jste měli před očima na začátku, odpovídá počtu čísel dělitelných čtyřmi (dolní tabulka), která byste měli v případě přijetí nabídky. Ale párování přiřazující jakékoli celé číslo k nějakému násobku 4 naopak ponechává nekonečnou množinu sudých čísel – čísla 2, 6, 10 a tak dále – ladem a z toho zdánlivě vyplývá, že sudých čísel je více než násobků 4, a tedy i více než celých čísel.

Každé celé číslo je spárováno s každým druhým sudým číslem, a proto zbude nekonečně mnoho sudých čísel na ocet. To naznačuje, že sudých čísel je více než celých.

Z jednoho pohledu je množina sudých čísel méně početná než množina čí sel celých. Z jiného pohledu jsou tyto množiny stejně velké. Z ještě další ho pohledu jsou početnější čísla sudá než čísla celá. A není to tak, že by jeden závěr byl správný a druhý chybný. Jednoduše na otázku, která z těchto nekonečných množin je větší, neexistuje žádná absolutní odpověď. Nalezený výsledek závisí na způsobu porovnávání.

Z této mnohoznačnosti pramení záhada pro teorie multivesmíru. Jak můžeme určit, zda jsou galaxie a život rozšířenější v jednom, nebo druhém typu vesmíru, je-li počet zúčastněných vesmírů nekonečný? Tatáž mnohoznačnost, s níž jsme se seznámili, zkomplikuje naše úvahy stejně dramaticky, pokud fyzika nevybere přesnou metodologii, s níž se mají množiny srovnávat. Teoretici předložili různé návrhy a různé analogie párování z těchto tabulek, které lze podložit tím či oním fyzikálním uvažováním, ale definitivní procedura ještě odvoze na a odsouhlasena nebyla. A právě jako v případě nekonečných množin celých čísel vyúsťují různé postupy v různé výsledky. Podle jednoho způsobu srovnávání převládají vesmíry jednoho typu, podle alternativního způsobu převažují vesmíry s jinými vlastnostmi.

Tato nejednoznačnost přímo zásadně ovlivňuje naše závěry o typických nebo průměrných vlastnostech v daném multivesmíru. Fyzici tomu podle matematického termínu, jehož význam kopíruje význam slova „míra“ v běžném jazyce, říkají problém míry. Potřebujeme prostředky, jak měřit velikosti nekonečných skupin vesmírů. To je nezbytná informace k vytváření předpovědí. Je nutná k tomu, abychom mohli zjistit, o kolik je pravděpodobnější, že se vyskytneme v jednom typu vesmíru než v jiném. Dokud to základní pravidlo, podle něhož bychom měli porovnávat nekonečné množiny vesmírů, nenajdeme, nebudeme schopni matematicky předpovídat, co by typičtí obyvatelé multivesmíru – my – měli vidět ve svých experimentech a pozorováních. Vyřešení problému míry je naléhavý úkol.

Další kritika ze strany odpůrců antropického principu Problému míry jsem věnoval celou podkapitolu nejen proto, že je to obrovská překážka na cestě k předpovědím, ale i proto, že s sebou nese další znepokojivý důsledek. Ve 3. kapitole jsem vysvětlil, proč se inflační teorie stala de facto oficiálním kosmologickým paradigmatem. Krátké, výbušné a rychlé rozpíná ní v prvních okamžicích života vesmíru by umožnilo dnes už vzdáleným oblastem prostoru, aby na samém počátku spolu komunikovaly. To by vysvětlilo jejich jednotnou teplotu, již zjistila měření; rychlé rozpínání „vyžehlí“ i jakékoli nerovnosti a zakřivení prostoru a poskytne tak plochý prostor, jaký souhlasí s pozorováními; a nakonec takové rozpínání převede kvantové oscilace na drobné variace teplot napříč oblohou, na takové variace, které jsou měřitelné v reliktním záření a zároveň jsou podstatné pro vznik galaxií. Tyto úspěchy staví inflaci na pevnou zem. Jenže věčná odrůda inflace může takový závěr podkopat.

Kdykoli jsou podstatné kvantové jevy, pak to nejlepší, co můžete předpovědět, je pravděpodobnost jednoho, nebo druhého výsledku. Experimentální fyzici si toto ponaučení berou k srdci, a proto své pokusy opakují znovu a znovu; hromadí tak haldy údajů a pak je statisticky analyzují. Jestliže kvantová mechanika předpovídá, že je jeden výsledek desetkrát pravděpodobnější než jiný, potom by údaje měly tento poměr se značnou přesností odrážet.

Výpočty reliktního záření, jejichž souhlas s pozorováními je nejpřesvědčivějším argumentem platnosti inflační teorie, se spoléhají na oscilace kvantových polí, a proto jsou pravděpodobnostního rázu. Na rozdíl od laboratorních experimentů je však nelze překontrolovat tak, že bychom velký třesk spustili mnohokrát za sebou. Jak je tedy interpretovat?

Když tedy z teoretických úvah vyjde, že je řekněme 99% pravděpodobnost, že mikrovlnné údaje by měly vypadat tak, a ne jinak, a my pozorovatelé vidíme ten pravděpodobnější z obou výsledků, potom můžeme tyto údaje považovat za silný argument podporující teorii. To proto, že vznikla-li množina vesmírů podle stejných fyzikálních zákonů, teorie předpovídá, že asi 99 % z nich by mělo vypadat jako vesmír, který pozorujeme, a pouze 1 % by se mělo svou podstatou od nich odlišovat.

Kdyby inflační multivesmír obsahoval jen konečný počet vesmírů, mohli bychom přímočaře tvrdit, že počet výstředních vesmírů, v nichž kvantové procesy vyústí v údaje protiřečící většinovým očekáváním, zůstane poměrně velmi nízký. Ovšem ve skutečném inflačním multivesmíru je počet vesmírů nekonečný, a proto je mnohem složitější tato čísla interpretovat. Kolik je 99 % z nekonečna? Nekonečno. A kolik je 1 % z nekonečna? Zase nekonečno. Které z těchto nekonečen je větší? Odpověď závisí na tom, jak obě nekonečné množiny porovnáváme. A jak jsme viděli, dokonce i v případech, kdy jedna nekonečná množina vypadala očividně větší než jiná, jsme mohli jinými metodami dospět k závěrům odlišným.

Odpůrce antropického principu tedy dojde k závěru, že pokud je inflace věčná, i samotné předpovědi, díky nimž jsme získali v teorii důvěru, jsou uvedeny v ne jistotu. Každý možný výsledek povolený kvantovými výpočty, ať už jakkoli nepravděpodobný – s kvantovou pravděpodobností rovnou 0,1 % nebo 0,0001 % či 0,000000001 % –, by byl realizován v nekonečně mnoha vesmírech.

Prostě proto, že součin kteréhokoli z těchto čísel a nekonečna se zase rovná nekonečnu. Bez spolehlivého pravidla, jak porovnávat nekonečné množiny, nemůžeme ani náhodou rozhodnout, zda je jedna množina vesmírů větší než ty ostatní, a tedy je i tou třídou vesmírů, které budeme nejspíše pozorovat, a proto ztrácíme schopnost vytvářet jakékoli předpovědi.

Tento text je úryvkem z knihy:

Brian Greene: Skrytá realita – Paralelní vesmíry a hluboké zákony kosmu

Paseka 2012

O knize na stránkách vydavatele

autor