Student World

Před 20 lety, 26. října 1983, zemřel Alfred Tarski, americký matematik polského původu, který patří k nejvýznamnějším matematikům a logikům minulého století. Ve své nejvýznamnější práci dokázal, že žádný jazyk nedokáže beze zbytku vyjádřit svou vlastní sémantiku.

Alfred Tarski (1902-1983), zakladatel formální sémantiky, se narodil ve Varšavě, kde získal roku 1923 doktorát z filozofie. Do svého odchodu do Spojených států amerických roku 1939 vyučoval matematiku. V letech 1942 až 1968 působil jako profesor matematiky na Kalifornské univerzitě v Berkeley. Zabýval se zejména studiem přiřazení formálních, množinově teoretických objektů výrazům formálního jazyka, zavedl pojem modelu jako interpretace formálního jazyka, který splňuje danou množinu výroků, čímž umožnil rozvoj teorie modelů. Napsal řadu knih zabývajících se nejrůznějšími oblastmi matematiky a logiky. Mezi nejvýznamnější patří Rozhodovací metoda pro elementární algebru a geometrii (A Decision Method for Elementary Algebra and Geometry, 1948), Teorie nerozhodnosti (Undecidable Theories, 1953) a Logika, sémantika, metamatematika (Logic, Semantics, Metamathematics, 1956).

V své nejvýznamnější práci navázal Tarski na Kurta Gödela. Stejně jako Gödel totiž dokázal, že logické systémy jsou sémanticky neúplné. Tím se zhroutila snaha význačných matematiků první poloviny minulého století (B. Russell, A. Whitehead, D. Hilbert), kteří se snažili definovat matematiku jakožto zcela konzistentní systém založený na zákonech logiky. Zatímco Russell a Whitehead usilovali ve svém monumentálním díle Principia Mathematica vystavět matematiku na základech symbolické logiky tím, že z ní odstraní všechny logické paradoxy (což se jim samozřejmě nepodařilo), Hilbert šel ještě dále. Chtěl dokázat vnitřní konzistenci axiomů aritmetiky a všech dedukcí, které z nich mohou být vyvozeny. Tyto cíle se ukázaly jako nedosažitelné, když mladý rakouský matematik Kurt Gödel publikoval v roce 1931 svůj krátký článek, v němž dokázal, že libovolný logický systém, který je dost rozsáhlý na to, aby obsahoval aritmetiku, je nutně neúplný.

Jak je to možné? Gödel dokázal, že pokud je matematický systém konzistentní, pak pojem pravdivosti – tedy soubor všech pravdivých vět systému – není definovatelný v systému samotném. Což je důkazem, že existují pojmy, které prostě nemohou být definovány uvnitř jistých formálních systémů. Výsledkem tohoto zjištění je, že logické a matematické systémy natolik bohaté, že obsahují aritmetiku, jsou nejen formálně neúplné ve smyslu, že některé z jejich pravd jsou za použití prostředků systému nedokazatelné, ale že jsou také sémanticky neúplné v tom smyslu, že některé z jejich pojmů se nedají definovat pomocí jazyka a pojmů systému. Vždy je lze definovat pomocí většího systému, ale jen za cenu vytvoření dalších nedefinovatelných pojmů v rámci tohoto většího systému. Nakonec to tedy znamená, že neexistuje formální systém, v němž by mohla být rozhodnuta pravdivost všech matematických tvrzení či v němž by mohly být definovány všechny matematické pojmy.

Tento objev měl dalekosáhlé důsledky. Kurt Gödel dokázal, že elementární matematika nutně obsahuje nedokazatelná tvrzení a že se částečně opírá o axiomy víry ve svou vlastní konzistenci. Vytvoříme-li tvrzení, jehož pravdivost či nepravdivost nelze určit, pak můžeme k množině axiomů definujících systém přidat libovolně buď toto tvrzení, anebo jeho negaci. Obě volby ovšem vytvoří větší logický systém, jenž nutně obsahuje nová nedokazatelná tvrzení. Matematika tak vlepila formalistům, kteří věřili v její konzistenci, nepříjemný políček. Jejich sen, že může být matematika definována jako úplný výčet všech dedukcí, vytvořený z konzistentních axiomů pomocí konečných metod, se rozplynul.

Tím ale rozčarování neskončilo. Tarski se v logice zabýval zvláště pojmem pravdy. Svou teorii pravdy nazval jako korespondenční, neboť v jejím jádru stojí přesvědčení, že pravdivost věty spočívá pouze v jejím souhlasu (korespondenci) se skutečností. Na základě svého zkoumání Tarski ale dospěl k tomu, že žádný jazyk nedokáže beze zbytku vyjádřit svou vlastní sémantiku. Jazyk sice může být konzistentní, ale zároveň je vždy nedostatečně bohatý na to, aby obsahoval celou sémantiku. Aby popsal sám sebe bez logických paradoxů. Úplnost vyžaduje bohatší zastřešující jazyk (který Tarski označil jako „metajazyk“), a ten zase vyžaduje k vyjádření své sémantiky další jazyk a tak dále až donekonečna.

Tarski ovlivnil i další obory matematiky. Společně se Stephenem Banachem objevil ekvivalenci geometrických objektů konečnou dekompozicí. Pozoruhodný je zejména fenomén označovaný jako „Banachova-Tarského dekompozice koule“, podle něhož lze kouli pomocí posloupnosti řezů rozdělit tak, že z těchto řezů lze sestavit dvě koule stejného poloměru, jaký měla koule původní. Do teorie grup přispěl hypotézou označovanou dnes jako „Tarského příšery“. Jedná se o nekonečné grupy, jejichž existence se intuitivně jeví jako nemožná.

Více informací:

Peregrin: Vzestupy a pády „nové logiky“: Hilbert, Gödel, Tarski a spol. http://www.cuni.cz/~peregrin/PDFTxt/_analf6.pdf

Ralph Estling: Zabývá se věda pravdou?
http://www.sisyfos.cz/sisyfos/zpravodaj/sis13_09.htm

Matthew J. Donald: Finitary and Infinitary Mathematics, the Possibility of Possibilities and the Definition of Probabilities
http://philsci-archive.pitt.edu/archive/00001245/01/fim.pdf

autor Jan Kapoun