Student World

Svou otázkou na dlouhodobou stabilitu Sluneční soustavy odstartoval král Oscar celý obor chaosu. Následně se zjistilo, že otázku můžeme interpretovat mnoha způsoby, což neovlivňuje jen odpověď, ale i smysluplnost otázky. Řekněme například, že dynamika je chaotická. My bychom řekli, že je celkem vzato stabilní, kdežto král Oscar by to pravděpodobně kvůli nepravidelnostem považoval za nestabilní. Místo zdlouhavého zkoumání, co je vlastně stabilita, pojďme rozvážit opravdu drastický scénář. Kdybychom čekali dost dlouho, řekněme miliardu let i víc, mohlo by se stát, že se změní celkové uspořádání planet Sluneční soustavy? Mohl by se Mars srazit se Zemí? Mohl by být Merkur úplně vymrštěn pryč ze Sluneční soustavy? Mohla by Venuše skončit uvnitř oběžné dráhy Merkuru?

Před pěti lety ještě nebyly počítače na takové úrovni, aby byly schopné tuto otázku analyzovat v dostatečně dlouhodobém horizontu – i Digitální planetostroj byl na tohle moc pomalý. Ale ve výpočetní technice nic neplatí dlouho a Digitální planetostroj je dnes překonán rychlejším hardwarem a sofistiko vanějším softwarem. Výsledně se naše znalost Sluneční soustavy podstatně zvýšila. Víme dnes například, že se po chaotické dráze nepohybuje jen Pluto. Jacques Laskar z pařížského Bureau des Longtitudes (kde shodou náhod pracoval i Laplace) ukázal, že chaotická je celá Sluneční soustava. Když je jedno těleso Sluneční soustavy chaotické, tak je z pohledu matematika chaotická soustava celá, protože když se divoce mění poloha Pluta, tak se divoce mění i globální stav celé Sluneční soustavy. Astronom si nicméně může položit rozumnou otázku, jestli nevázané chování Pluta má vliv na něco jiného. „Bude zbytek Sluneční soustavy stabilní, když budeme Pluto ignorovat?“ Před Laskarem výpočty nasvědčovaly tomu, že celkem vzato odpověď bude „ano“.

V matematických rovnicích nebeské mechaniky se kromě planet mohou hý bat i jiné věci. „Dráhové elementy“ – parametry, které určují tvar, velikost a polohu dráhy – se také mohou změnit. Aby měly výpočty smysl, jsou jejich změny úplně stejně důležité jako pohyby planet samotných. V astrono mic kých měřítkách planety rychle obíhají kolem Slunce, kde „rychle“ znamená, že změny mohou lidské bytosti pozorovat během pár dní nebo měsíců. Ale poloha oběžných drah se také mění, i když mnohem pomaleji. Tak pomalu, že Tycho Brahe žádnou změnu nepostřehl, což bylo pro vývoj vědy štěstí, protože jinak by Kepler nikdy nepřišel na svoje elipsy. Nejdůležitější z těchto pohybů je precese oběžné dráhy. Periodické obíhání po elipse je jím narušeno a proměněno v kvaziperiodické chování, protože elipsa sama také rotuje.

Laskar objevil způsob, jak rychlé obíhání eliminovat, takže mu stačilo zkoumat pouze pomalou precesi drah. Vzal Newtonovy rovnice a teorii relativity – asi tak stránku matematických výrazů –, pomocí počítače provedl ohromné množství úprav a všechno rozvedl do řad. Výsledná rovnice obsahovala 150 000 polynomiálních členů a zabírala 800 stran. To vypadá trochu jako krok zpět, ale v matematických vzorcích je pohyb vyjádřen jen implicitně a Laskarův mocninný rozvoj jej udělal o stupeň explicitnější. Za to je osmisetstránkový rozvoj jen malá cena. Posledním krokem je osmisetstránkové rovnice numericky zvládnout. Díky eliminaci rychlých pohybů se to dá udělat efektivněji: místo obnovování pozic planet po intervalech dlouhých půl dne si Laskar vystačí s časovými úseky 500 let, čímž se výpočet urychlí 300 000krát. Spočítat pohyby planet na 200 milionů let trvá na rychlém počítači pár hodin.

Laskar zjistil, že chaoticky se chovají všechny planety, a obzvlášť ty vnitřní: Merkur, Venuše, Země a Mars. Nejistota počáteční polohy o 15 metrů se po deseti milionech let zvětší na pouhých 150 metrů, ale za 100 milionů let vyroste na 150 milionů kilometrů.

To je vzdálenost mezi Zemí a Sluncem.

Předvídatelnost pohybů planet je tedy omezená. V rozmezí deseti milionů let jsou předpovědi klidně možné, ale v rozmezí sta milionů let už ne. I kdy bychom vzali v potaz i ty nejmenší planetky, k možné chybě o velikosti 150 milionů kilometrů bychom nedošli za 100, ale až za 160 milionů let.

Nic z toho ovšem neznamená, že nepravidelná bude i oběžná dráha Země. Chaotická je pozice Země na oběžné dráze. Oběžná dráha jako taková se nijak moc nezmění. V daleké budoucnosti bude nepředvídatelné načasování léta a zimy, ale Země bude stále obíhat mezi Venuší a Marsem. Tento typ chaosu bude tedy mít jen poměrně malý vliv na celkový vzhled Sluneční soustavy. Na druhou stranu, pokud by proměnná vzdálenosti od Slunce měla sklon k chaosu, potom by se radikálně měnila celá oběžná dráha, některá planeta by například mohla Sluneční soustavu úplně opustit. Vlastně, jak za chvíli uvidíme, není důležitá vzdálenost planety od Slunce, ale výstřednost její oběžné dráhy – o jak tlustou nebo jak tenkou elipsu se jedná. Změny ve vzdálenosti bývají často zapříčiněné právě změnami ve výstřednosti.

Dnes už umíme vyřešit dynamické rovnice Sluneční soustavy na miliardu let. Během této doby se nic moc nezmění v chování velkých planet: Jupiteru, Saturnu, Uranu a Neptunu. Budou dál pravidelně obíhat. Ale pro vnitřní planety nastanou změny. Výstřednost oběžných drah Země a Venuše se změní maximálně o osm procent, ale bude to trvat aspoň pět miliard let nebo ještě déle. U Marsu je to něco jiného. Během pěti miliard let se jeho výstřednost může zvětšit o 20 procent nebo i o víc, což jej přivede do blízkosti oběžné dráhy Země a bude tak hrozit kolize nebo téměř kolize. Výstřednost Merkuru by se mohla zvětšit natolik, že by překřížil oběžnou dráhu Venuše, a po blízkém setkání by mohl být vymrštěn ze Sluneční soustavy úplně pryč.

Konečně tedy máme odpověď na otázku krále Oscara, i když taková by se mu pravděpodobně nelíbila – ovšem díky časovému horizontu pěti miliard let si můžeme trochu oddechnout.

Tento text je úryvkem z knihy

Ian Stewart: Hraje bůh kostky?
Matematika chaosu

O knize na stránkách vydavatele

autor