Student World

Úsečka je tvořena z nekonečného počtu bodů. Nebylo by ale možná zkusit budovat matematiku jinak, totiž bez nekonečen? Úsečka by pak byla tvořena velmi vysokým, nicméně konečným počtem bodů. Tento geometrický atomismus se datuje již od Demokrita…
Podobně jako mají konečnou velikost Demokritovy atomy, platí totéž pro části přímky. Prostor je kvantován (i když v antice se tomu takto samozřejmě neříkalo).

Příslušné pojetí matematiky má možná blíže k fyzikálním aplikacím (částečky hmoty mají skutečně konečnou velikost), nicméně bez pojetí nekonečna těžko provádět určité typy důkazu a extrapolací. K problémům se můžeme dostat i při práci s posloupnostmi a řadami. Samozřejmě v případě obou přístupů velmi záleží na tom, jak je přesně definován pojem "limity".

Dierk J. Struik pokládá atomovou matematiku za plodnější způsob, který snadněji vede k novým výsledkům. Opačný přístup, k němuž se nakonec rozhodla antika, je čistší a vnitřně zdůvodněnější. Vítězství tzv. exhaustivní metody bývá interpretováno jako triumf Platónova idealismu nad demokritovským materialismem (minimálně ve filosofii matematiky).
Exhaustivní metoda má také dále k fyzikálním aplikacím; většina řeckých intelektuálů se o praktické aplikace svých objevů příliš nezajímala, což bývá na ekonomické rovině vysvětlováno poukazem k nízké ceně otrocké práce.
Nicméně ještě v období antiky využíval některých atomistických přístupů ve svých úvahách také Archimédes. V 17. století se některé myšlenky opět objevily u Keplera.

Zdroj: Dierk J. Struik: Dějinách matematiky (Orbis, Praha, 1963)

Spory o existence nekonečen řeší také kniha Johna Barowa Pí na nebesích ("Taková definice nekonečna stačila na to, aby se XY obrátil v hrobě. A to hned nekonečněkrát."). Exhaustivní přístup dosáhl zřejmě vrcholu u Cantora a Hilberta, pro které nekonečna nejsou naší abstrakcí, ale pracuje se s nimi jako s věcmi zcela "reálnými", které je navíc možné dále klasifikovat a obdařit celou řadou dalších vlastností.
Jsme si vědomi probémů s přidáváním komentářů v některých prohlížečích. Komentáře (eventuálně popis dalších problémů, kterých jste si na stránkách povšimli), posílejte prozatím e-mailem na pavel_houser@idg.cz