Student World

Na internetové stránce http://mathworld wolfram.com lze nalézt vedle jiných definicí následující trojúhelníky:
Losanitschův trojúhelník, Bellův trojúhelník, Magogův trojúhelník, prvočíselný trojúhelník, Bernoulliův trojúhelník, monotonní trojúhelník, Catalanův trojúhelník, Seidel-Entringer-Arnoldův trojúhelník, Clarkův trojúhelník, Eulerův číselný trojúhelník, trinomický trojúhelník (ačkoliv se tak jmenuje, trojúhelník to není), Pascalův trojúhelník, Leibnizův harmonický trojúhelník, Peirceův trojúhelník.
Při tom vynechali trojúhelník Sierpinského, což je Pascalův trojúhelník modulo 2.
Italové znají Pascalův trojúhelník jako Tartagliův a Číňané jako Yang Huiův.
Při vyhledání Googlem se nám vrátí (v angličtině) na výraz Pascalův trojúhelník 1,580.000 výsledků.
Pascalův trojúhelník dostaneme tak že do prvého pole tabulky napíšeme 1. Do dalších polí píšeme součty dvou předcházejících sousedních polí, buď sousedů vlevo shora a vlevo, nebo vlevo a vlevo shora. Tak dostaneme dvě tabulky v trojúhelníkovém tvaru, což jsou transponované matice
Pascalův trojúhelník lze také dostat ve formě pravoúhlého čtyřúhelníku, kdy v prvém řádku a sloupci jsou samé jednotky a v dalších buňkách součty prvků v levo a shora. Tento tvar dostaneme také vynásobením Pascalova trojúhelníku v dolním trojúhelníkovém tvaru s Pascalovým trojúhelníkem v horním trojúhelníkovém tvaru.
Pascalovův trojúhelník je diference Pascalova čtyřúhelníku. Další diference nám dá Fibbonaciova čísla.
Prvky Pascalova trojúhelníku se dostanou při umocňování dvojčlenu jako počty stejných prvků, když nebereme ohled na pořadí (aab = aba = baa).
Po tomto mírně vyčerpávajícím úvodu každého napadne, co má Pascalův trojúhelník společného s počty rozdělení p(n).
Problémy spojené s počty rozdělení p(n) čísla n na všechny možné sčítance mají v matematice dlouhou historii. V poslední době našly rozdělení uplatnění i ve fyzice.
Počty rozdělení p(n) mají své vytvořující funkce, proto je spojení obou postupů, počítání počtů rozdělení p(n) pomocí Pascalova trojúhelníku poněkud překvapující.
Postup lze pochopit z následující tabulky:

Na diagonále tabulky se objevují přirozená čísla, která odpovídají oběma indexům, i=j. Tato čísla zůstávají ve sloupci jako základ všech následujících rozdělení. K tomuto
základu se přidají prvky z předchozích dvou bloků. Je to jednak pohyblivá část rozkladu vlevo shora a celé rozklady shora. Je tomu tak proto, že počty prvků v rozkladech rostou, ve všech sloupcích je vždy o jeden prvek více než bylo ve stejném sloupci v předešlých blocích.
Algoritmus počítání rozkladů je stejný, jako algoritmus růstu binomických koeficientů, takže součty prvků jsou mocniny 2.
Když si všimneme prvých řádků v blocích, vidíme, že odpovídají Peanově součtové definici přirozených čísel. Takže tuto definici lze na základě tabulky zobecnit na tautologii: Přirozeným číslem je každý součet přirozených čísel.
Počítání rozdělení pomocí Pascalova trojúhelníku má zcela názorné vysvětlení pomocí Ferrersových grafů. Rozklad p(n) si představíme názorně jako uspořádání n objektů. Třeba rozdělení (54321) tvoří Ferrersův graf ve tvaru rovnostranného trojúhelníku
xxxxx
xxxx
xxx
xx
x.
Všechna rozdělení prvého řádku posledního zobrazeného bloku umístíme (se stejným začátkem)
na Ferrersův graf ve tvaru úhelníku
xxxxx
x
x
x
x.
Další rozdělení postupně zaplňují neobsazená místa. Posledním rozdělením potřebným pro odstranění posledního zubu v rovnostranném trojúhelníku je rozdělení 333. Při zaplňování Ferrersových grafů se každé rozdělení použije samozřejmě jen jednou.
Vedle zaplňování Ferrersových grafů má posloupnost ještě další interpretaci, na základě které bylo původně objeveno.
Rozdělení p(n) lze uspořádat do mřížek (matic). Rozdělení se řadí do sloupců podle
počtu členů rozkladu, do řádků podle největšího členu. Pro vysvětlení principu nám postačí dvě mřížky:

3
	21
		111

4
	31
	22	211
			1111

V Pascalově trojúhelníku počítajícím rozdělení opisují prvé řádky hlavní diagonálu mřížky. Vedle hlavní diagonály existují diagonály vedlejší. Pokud chceme diagonály indexovat, potom index hlavní diagonály odpovídá rozměru čtvercové matice, u dalších diagonál index klesá, takže rozdělení 22 leží na třetí diagonále a proto se počítá spolu s rozklady čísla 3. Další podrobnosti o mřížkách lze nalézt v publikaci Partitions and their lattices na stránce http://mujweb.cz/veda/kunzmilan.

autor Milan Kunz