Student World

Všechny částice s nenulovou kinetickou energií mají tendenci se od sebe vzdalovat. Matematický důkaz.

Uvažujme dva body A, B v rovině, jejichž vzdálenost označme f. Pro jednoduchost předpokládejme, že bod A je nehybný a bod B se pohybuje zcela náhodně a skokově, vždy o jednotkovou vzdálenost. Jaká bude vzdálenost mezi body po prvním skoku? Zůstane stejná nebo se změní? A co po druhém nebo po třetím skoku? Střední vzdálenost po prvním skoku lze spočítat jako:

Kde x je úhel který svírají úsečky AB a BB1 (B1 je pozice bodu B po prvním skoku). Po integraci a odečtení f získáme hodnotu inkrementu vzdálenosti (viz graf; jednotkou jsou „skoky“).

Tento inkrement závisí na původní vzdálenosti bodů f. Řešením je klesající křivka s maximem v f = 0 a pro f limitující k nule. To znamená, že jakékoliv dva náhodně se pohybující body se od sebe vzdalují, a čím jsou blíže sebe, tím se vzdalují rychleji. Je zřejmé, že statisticky musí součet všech vektorů rychlostí dát nulu. Je to v rozporu s uvedenými závěry? Zde je potřeba si uvědomit, že pokud bude mít pravděpodobná oblast výskytu tvar kružnice (v případě 2D prostoru), pak těžiště všech teoretických poloh zůstává v původním středu a statistická podmínka je splněna.

Po další integraci podle f (součet všech inkrementů vzdálenosti) by se ukázalo zda toto vzdalování je omezené nebo narůstá do nekonečna (pokud by výsledkem bylo konečné číslo nebo nekonečno).

Protože maximální suma vzdáleností je dosažena při lokalizaci bodů na kružnici resp. kulové ploše, měl by být kupříkladu tlak ideálního plynu v uzavřené nádobě nejvyšší při okrajích a nejnižší ve středu nádoby! Samozřejmě, že rozdíly budou minimální, protože při jakékoliv nehomogenitě v nádobě se změní pravděpodobnost srážek (pohybu) v různých směrech. Přesto by mohla být i tato jemná odchylka teoreticky měřitelná.

Je zajímavé že suma vzdáleností bodů položených na přímce je vždy stejná, na rozdíl od bodů umístěných v 2D resp. 3D prostoru. Pokud by se například entropie nadefinovala jako suma všech vzdáleností elementárních částic systému (násobených součtem kinetických energií?), jednalo by se o vysvětlení samovolného vzrůstu entropie.

Stephen Howg-King, howgking@seznam.cz

autor