Student World

O nedávném důkazu Fermatovy věty bylo již napsány celé knihy. Než se dostaneme k jejich recenzím, zatím pouze drobný úvod do problematiky.

Velká Fermatova věta říká, že neexistuje taková trojice přirozených čísel, pro které by platilo, že
a exp n + b exp n = c exp n. Samozřejmě pro n přirozené a větší než 2 (jinak by neplatila ani ještě známější věta Pythagorova). První krok k důkazu učinil Euler v roce 1748, když určil, že součet nemůže platit pro třetí mocniny přirozených čísel. Ještě před tím naznačil samotný Fermat, že řešení existuje i pro n = 4.

A co dále? Problém v obecné rovině vzdoroval více než 300 let. Pomohl snad nástup výpočetní techniky? Nic takového. Dejme slovo Akademickému bulletinu:
"Tužka, papír a logické uvažování byly jedinými pomůckami britského matematika Andrewa Wilese při hledání důkazu Velké Fermatovy věty, snad nejtěžšího problému generací matematiků slavných jmen za posledních 350 let. Tři staletí nestačila k nalezení důkazu, což z Velké Fermatovy věty mezi zasvěcenci učinilo nejznámější matematický problém. Její pověst přerostla nakonec hranice pomyslného matematického světa. Dokázat ji znamenalo získat věhlas výjimečného teoretika v oblasti čísel. Není divu, že hledání důkazu inspirovalo největší myslitele celé planety, vyzvalo k vypsání odměn v závratných sumách a pro A. Wilese se stala největší vášní od chvíle, kdy se s ní jako dítě potkal." Wiles tak kromě vyřešení své obsese získal rovněž prémii ve výši 200 000 dolarů.
Recenzi knihy o Wilesově důkazu, kterou napsal Simon Singh, právě připravujeme. Prozatím: Důkaz pro n = 4 můžete najít na
http://www.oceany.cz/fermat/#_Toc530660522.
Tyto stránky se věnují i přímo panu Fermatovi a historii hledání důkazu.

Mimochodem – malá Fermatova věta tvrdí, že výraz a exp p – a je dělitelný p, přičemž p je prvočíslo. Tuto větu dokázal roku 1736 rovněž Euler, který její formulaci ještě zobecnil. Principy vycházející z malé Fermatovy věty jsou dodnes využívány v počítačové kryptografii.
Obě věty byly formulovány v roce 1636, ale jejich vzdálenější předlohy existovaly již v antické matematice, především v díle alexandrijského matematika Diofanta.
Fermat rovněž objevil metodu pro určení tečny křivky, která je pokládána za předchůdce obecného diferenciálního počtu. Taktéž na poli fyziky definoval přímku jako dráhu světelného paprsku mezi dvěma body. Z jeho dalšícho matematického bádání lze uvést objev další dvojice spřátelených čísel a tvrzení, že 26 je jediným číslem, které leží mezi n exp 2 a n exp 3 (tj. mezi 25 a 27). Žádní jiné číslo ležící mezi druhou a třetí mocninou objeveno nebylo.

Zájemci o další informace mohou prozatím navštívit např. stránku
http://intranet.gymcheb.hiedu.cz/%7Espitelov/ramec.htm
(zde je však o Fermatově větě vykládáno z pohledu, jako by úloha dosud neměla známé řešení).

Pokud neznáte následující dílo: Simon Singh: Velká Fermatova věta (Academia, Praha, 2000), mohu ho jen a jen vřele doporučit. Je to podle mého názoru nejzajímavější v češtině vyšlá kniha z oblasti populární vědy, kterou jsem četl od Elegantního vesmíru…
Mimochodem: Pokud rovnici rozšíříte ještě o jeden člen v součtu, tj. napr. a exp 4 + b exp 4 + c exp 4 = d exp 4, řešení je možné najít, byť se pohybuje v oblasti velkých čísel. Toto řešení nalezl Noam Elkies z Harwardovy univerzity.

autor Pavel Houser