Student World

Jaký vliv má Gödelova věta o nerozhodnutelnosti pro fyziky pátrající po teorii všeho? Na otázku se pokouší odpovědět John Barrow v knize Nové teoriie všeho (jedná se o přepracované vydání v češtině již vyšlé Teorie všeho; toto vydání je aktualizováno a obsahuje i několik zcela nových kapitol)

Jedna možnost, velmi pravděpodobně odpovídající skutečnosti, je, že zákony přírody užívají pouze rozhodnutelné části matematiky. Víme, že matematika je nekonečné moře možných struktur. Pouze některé z těchto struktur a vzorů nalézají existenci a aplikaci ve fyzikálním světě. Velmi málo z nich se užívá k vyjádření zákonů přírody. Možná, že všechny jsou z podsouboru rozhodnutelných pravd.
Je též možné, že podmínky požadované pro důkaz Gödelovy věty se nevztahují k fyzikálním teoriím. Podmínka 1 žádá, aby axiomy teorie byly katalogizovatelné. Snad zákony fyziky v tomto speciálním smyslu katalogizovatelné nejsou. To by znamenalo radikální ústup od běžného stanoviska, kdy věříme, že fundamentální zákony lze nejen katalogizovat, ale že jejich počet je konečný (a velmi malý). Ano, vždycky je možné, že se jen drápeme po povrchu bezedné věže zákonů, přičemž podstatný vliv na naši zkušenost má pouze její vrchol.

Je-li však nekatalogizovatelná nekonečnost fyzikálních zákonů, pak čelíme hrozivějšímu problému, než je problém neúplnosti.

…

Stejně zajímavá záležitost je konečnost. Možná že vesmír všech fyzikálních možností je konečný, třebaže je astronomicky velký. Ale bez ohledu na to, jak velký je počet primitivních veličin, k nimž se zákony vztahují, pokud jsou konečné, pak výsledný systém vzájemných vztahů bude logicky úplný. Měli bychom zdůraznit, že ačkoliv jsme zvyklí předpokládat kontinuum bodů prostoru a času, je to jen předpoklad, který je velmi pohodlný pro užití prosté matematiky. Není žádný hluboký důvod pro víru, že prostor a čas jsou na své nejhlubší mikroskopické úrovni spojité a ne diskrétní; fakticky jsou jisté teorie kvantové gravitace, které předpokládají, že tomu tak není. Kvantová teorie zavedla diskrétnost a konečnost na řadě míst, kde jsme kdysi věřili v kontinuum možností. Je zajímavé, že když zavrhneme tuto spojitost, takže není nutně další bod mezi každými dvěma dostatečně blízkými zvolenými body, prostoročasová struktura se nesmírně komplikuje. Otvírá se příležitost pro mnohem větší množství komplikací. V této souvislosti se klade i otázka, zda je vesmír konečný co do objemu a zda počet elementárních částic (či co vůbec mohou být elementární entity) v přírodě je konečný či nekonečný co do počtu. Takže snad existuje konečný počet členů, na něž se nejzazší logická teorie fyzikálního světa aplikuje. Pak by tedy teorie měla být úplná.
Zajímavá možnost aplikace gödelovských myšlenek na zákony fyziky je, že podmínka 2 (systém dosti rozsáhlý, aby zahrnoval aritmetiku) pro větu o neúplnosti by nemusela platit. Jak by to bylo možné? Ačkoliv to vypadá, že při vědeckém zkoumání zákonů fyziky široce užíváme aritmetiky a mnohem rozsáhlejších matematických struktur, neznamená to, že vnitřní logika fyzikálního vesmíru by takovou velkou strukturu potřebovala. Je pro nás nepochybně pohodlné užívat velkých matematických struktur společně s pojmy, jako je nekonečno, ale může to být antropocentrismus. Hluboká struktura vesmíru může být zakořeněna v mnohem prostší logice, než je úplná aritmetika, a pak bude úplná. K tomu nepotřebujeme víc, než aby podkládající struktura vesmíru obsahovala buď sčítání, nebo násobení, ale ne obojí. Zopakujme, že všechny součty, s nimiž jsme se kdy setkali, užívají násobení prostě jako zkrácení pro sčítání. To by bylo možné také v Presburgerově aritmetice. Alternativou je, že základní struktura reality, která užívá prostých vztahů geometrické variety, nebo která se vyvodí ze vztahů „větší než“, „menší než“ či subtilní kombinace toho všeho, by také mohla zůstat úplná, ačkoliv důkazy pro to potřebné by byly velmi dlouhé. Fakt, že Einsteinova teorie relativity nahrazuje mnohé fyzikální pojmy, jako je síla nebo váha, geometrickými deformacemi na jevišti prostoročasu, může dobře posloužit jako vodítko.
Zákony fyziky mohou být plně vyjádřitelné ve výrazech matematické soustavy, která je úplná, ale v praxi se budeme vždy mnohem více zabývat tím, zda jsme dostali správný systém, než zda je tento systém úplný. Tarski ukázal, že na rozdíl od aritmetiky či přirozených čísel je teorie reálných čísel prvního řádu se sčítáním a násobením rozhodnutelná. To je poněkud překvapivé a může dávat jistou naději, že teorie fyziky založené na reálných nebo komplexních číslech se nakonec vyhnou nerozhodnutelnosti. Mnohé matematické systémy užívané ve fyzice, jako je teorie mřížek, projektivní geometrie a teorie abelovských grup, jsou také rozhodnutelné, ačkoliv jiné, zřejmě neabelovské grupy nikoliv.
Není žádný důvod věřit, že Gödelova věta o neúplnosti představuje nějaké omezení naší schopnosti najít nejzazší zákony přírody – teorii všeho. Fyzika užívá jen část matematiky a tato část může ležet v rozhodnutelné oblasti matematiky. Fakticky matematika, která se používá pro vyjádření známých zákonů přírody, užívá pouze prostých vzorů a proces jejich nalézání není postižen nerozhodnutelností.
Ale zatímco zákony přírody jsou prosté, jejich výstupy nikoliv. Jsou složité a asymetrické a my jsme často v situaci, kdy máme zákon přírody ve formě rovnic, ale nevíme, jak je řešit, abychom určili výstupy zákonů.
A v této říši složitých výstupů známých zákonů očekáváme, že Gödelova neúplnost zvedne hlavu. Známe již řadu takových otázek, jež bychom mohli klást o vesmíru, ale jež nemohou být zodpovězeny v důsledku neúplnosti. Nejsou to omezení na určující zákony přírody, ale zabrzdí nás, když jich užíváme pro odpovědi na některé prosté matematické otázky, kde jsme mohli očekávat, že dostaneme přijatelné odpovědi.
Byly nalezeny speciální příklady fyzikálních problémů, které jsou nerozhodnutelné. Jak je možno z řečeného očekávat, nezahrnují neschopnost určit něco fundamentálního o povaze zákonů fyziky či o nejelementárnějších částicích hmoty. Spíše zahrnují neschopnost provést některé specifické matematické výpočty, které znamenají naši schopnost určit běh událostí v dobře definovaném fyzikálním problému. Ale ačkoliv problém může být matematicky dobře definován, neznamená to, že je možné vytvořit přesné podmínky, jaké si vyžaduje existence nerozhodnutelnosti.
Zajímavou řadu příkladů tohoto typu vytvořili brazilští matematikové Francisco Doria a Newton da Costa. V reakci na vyzývavý problém formulovaný ruským matematikem Vladimirem Arnoldem zkoumali, zda je možné mít obecné matematické kritérium, které by rozhodlo, zda nějaká rovnováha je či není stabilní. Stabilní rovnováha je jako míč na dně bazénu – posuňme jej trochu a vrátí se na dno; nestabilní rovnováha je jako svisle postavená jehla – posuňme ji trochu a bude se rovnováze vzdalovat. Je-li rovnováha prosté povahy, problém je velmi elementární; student přírodních věd to umí v prvním ročníku. Ale když rovnováha existuje v mnohem komplikovanějších kombinacích různých soupeřících vlivů, problém se stává mnohem složitějším než v situaci, kterou se zabývají studenti. Takže když je jen málo soupeřících vlivů, o stabilitě rovnováhy lze rozhodnout prozkoumáním rovnic, které dané situaci vládnou. Arnoldova výzva zněla objevit algoritmus, který by nám řekl, zda je to vždy možno udělat, ať už je počet soupeřících vlivů jakýkoliv a ať jsou jejich vzájemné vztahy jakkoliv složité. „Objevením“ se tu myslí nalezení vzorce, do něhož můžeme dosadit rovnice ovládající rovnováhu podle naší definice stability, a z něhož vyplyne odpověď „stabilní“ či „nestabilní“.
Kupodivu da Costa a Doria objevili, že žádný takový algoritmus nemůže existovat. Existují rovnováhy charakterizované speciálními řešeními matematických rovnic, jejichž stabilita je nerozhodnutelná. Aby tato nerozhodnutelnost měla vliv na reálně zajímavé problémy matematické fyziky, rovnováhy musí zahrnovat souhru velkého počtu různých sil. Ačkoliv takové rovnováhy nelze vyloučit, dosud nevystoupily v reálných fyzikálních problémech. Da Costa a Doria se snažili identifikovat podobné problémy, kde odpověď na prostou otázku, jako „stane se orbita částice chaotická?“ je nerozhodnutelná.

Tento text je úryvkem z knihy:
John D. Barrow: Nové teorie všeho
Argo a Dokořán 2008
O knize na stránkách vydavatele

Viz také:
Gödelova věta jako pomůcka pro matematické důkazy
Nad knihou: Teorie ničeho

autor