Hilbertovy hotely a hrátky s nekonečny
Hilbertovy hotely ukazují paradoxy, na které narážíme, když se pokoušíme pracovat s nekonečnem, jako by to bylo normální číslo. Jak v nekonečném hotelu ubytovat hosty z nekonečně mnoha jiných nekonečných hotelů?
Sdílet
pravidelné páteční „přetištění“ staršího článku
První dva příklady Hilbertových jsou v populárně-vědecké literatuře frekventované docela často. Jak v plně obsazeném hotelu s nekonečným počtem pokojů uvolnit pokoj pro nového návštěvníka? Jednoduše: každý host se přemístí do pokoje s číslem o jedničku vyšším a nový host se ubytuje v pokoji č. 1. Druhý příklad: Jak do stejného hotelu dostat nekonečno nově příchozích? Opět žádný problém: stačí, když se stávající hosté přemístí do čísla pokoje 2n. Tím budou obsazena sudá čísla a noví hosté mají k dispozici liché pokoje.
Těmito dvěma nejfrekventovanějšími příklady ale Hilbertovy hotely nekončí. Představte si, že provozovatel má kromě našeho hotelu nekonečnou síť hotelů podobných a nyní je všechny zavře. Hosté vyrazí do našeho hotelu. Jak má jeho majitel nyní ubytovat nekonečno nekonečen hostů?
První nápad s novým přiřazením zní třeba takto (podle přesunů stávajících hostů do pokojů s novými čísly):
1-1
2-1001
3-2001
4-3001
Hosté z hotelu dvě půjdou do pokojů 1002, 2002 atd. Hosté z hotelu 3 do pokoje 1003, 2003 atd. Jenomže takhle se uvolnila volá místa jen do hotelu číslo 1000. Co s hosty z hotelu číslo 1001?
Druhá verze využívá násobení. Hosté z hotelu 1 (našeho stávajícího) nechť se usídlí v násobcích dvojky, hosté z hotelu 2 v násobcích trojky. To ale opět nefunguje: už do pokoje č. 6 by nám tato metoda přivedla 2 hosty už při ubytování hostů z hotelu č. 2.
Zkusme tedy raději mocniny.
První hotel – 2, 4, 8, 16
Druhý hotel – 3, 9, 27…
Metoda ovšem selže u násobků 4, ale tady už nás napadne vylepšení asi hned: jako základ mocnin použijeme pouze prvočísla, jichž je stále nekonečný počet, takže jsme se o pokoje nijak neochudili.
Takže:
Hotel č. 1 – pokoje 2, 4, 8, 16
Hotel č. 2 – pokoje 3, 9, 27…
Hotel č. 3 – pokoje 5, 25, 125…
Hotel č. 4 – pokoje 7, 49…
Mimochodem si však povšimněme, že při této metodě dokonce zůstanou některé pokoje neobsazeny: v tomto případě pokoj č. 6 (a dále například pokoje 10 a 12, které nejsou také mocninami prvočísel).
Co kdyby správce chtěl z nějakého důvodu dostat do svého hotelu nejen nekonečno nekonečen hostů, ale ještě obsadit všechny pokoje? Jaký bude algoritmus, který m-tému hostu n-tého hotelu přiřadí číslo pokoje?
Zdroj:
Barrow, John D.: Kniha o nekonečnu
Paseka, Praha 2007
Úvodní foto: historicair, wikipedia, licence obrázku GFDL, Creative Commons Uveďte autora-Zachovejte licenci 3.0 Unported
Komentáře
05.05.2016, 21:20 proka
Mě se ten příklad líbí
Právě jsem ubytován v hotelu v Brně a pročítám to, moc tomu popravdě nerozumím, ale ještě se chvíli budu snažit:) Kdyžtak mrkněte na ubytování Brno..
30.07.2014, 00:53
.... ñïñ....
04.10.2013, 08:56 nnnnnnn
čas
a jak dlouho im to stěhování bude trvat? res. zvládnou to v konečném nebo v nekonečném čase?
16.08.2013, 12:30 sashacz
Koukám
že jsem popsal stejné řešení jako 63855
16.08.2013, 12:24 sashacz
řešení 2.pokus
Místo konce řádků jsem dal znak X, pokud text zkopírujete např do wordu a tam kde je X dáte ENTER, budete mít text tak, jak jsem jej zamýšlel. označíme si hosty do tabulkyX původní hotel 1-2-3-4-5-6-7-8-9-10...nekonečno hostůX 1. hotel 1-2-3-4-5-6-7-8-9-10...nekonečno hostůX 2. hotel 1-2-3-4-5-6-7-8-9-10...nekonečno hostůX 3. hotel 1-2-3-4-5-6-7-8-9-10...nekonečno hostůX .X .X nekonečnoX původníchX hotelůX X ---------------------------------------------------------------------X a budeme jim přiřazovat pokoje podle následujícího postupuX X 1-3-6-10-15-X 2-5-9-14-X 4-8-13-X 7-12-X 11-X X Proste ty dvě tabulky položíme na sebe.X
16.08.2013, 12:19 sashacz
A jeje
nejde formátovat text.
16.08.2013, 12:19 sashacz
řešení
označíme si hosty do tabulky původní hotel 1-2-3-4-5-6-7-8-9-10...nekonečno hostů 1. hotel 1-2-3-4-5-6-7-8-9-10...nekonečno hostů 2. hotel 1-2-3-4-5-6-7-8-9-10...nekonečno hostů 3. hotel 1-2-3-4-5-6-7-8-9-10...nekonečno hostů . . nekonečno původních hotelů --------------------------------------------------------------------- a budeme jim přiřazovat pokoje podle následujícího postupu 1-3-6-10-15- 2-5-9-14- 4-8-13- 7-12- 11- Proste ty dvě tabulky položíme na sebe.
16.08.2013, 10:05 cc
pravda
nebo ještě humanistická metoda: ze zavřených hotelů dorazí samozřejmě nekonečnými autobusy a to už je úloha řešená :)
16.08.2013, 08:47 lmecir
Diag. vzorec
(m + n - 2) * (m + n - 1) / 2 + n
16.08.2013, 08:42 63855
řešení
Lze to vyřešit následovně. Označme si hosty čísly i=1,2,3,... a hotely písmeny j=A,B,C,... . Můžeme si to zapsat i do tabulky, kde hosté budou ve sloupcích a hotely v řádcích. Potom můžeme jít po diagonálách. Tedy první pokoj 1-A1 (první diagonála je ukončená), druhý pokoj 2-A2, třetí pokoj 3-B1 (druhá diagonála je ukončena), dále 4-3A, 5-2B, 6-1C (třetí diagonála), 7-4A, 8-3B, 9-2C, 10-1D atd. až do nekonečna, jakýkoli host i z hotelu j by zjistil číslo svého pokoje n podle vzorce: n_(i,j)=n_(i-1,j)+i+j-2, n_(1,j)=n_(1,j-1)+j, n_(1,1)=1, kde pro výpočet zaměníme písmena hotelů za čísla.
Napsat vlastní komentář
Pro přidání příspěvku do diskuze se prosím přihlašte v pravém horním rohu, nebo se prosím nejprve registrujte.