Student World

Vesmírná loď Nezadržitelná vystartuje ze středu sférického vesmíru o poloměru 1 000 světelných let a pohybuje se po radiále rychlostí 1 světelný rok za rok – čili rychlostí světla. Jak dlouho jí bude trvat, než dorazí na okraj vesmíru? No jasně, 1 000 let, na tom nic není.

Až na to, že jsem vám zapomněl sdělit, že vesmír se rozpíná. Každý rok vesmír roztáhne svůj poloměr naráz přesně o 1 000 světelných let. Takže, jak to vypadá teď? Předpokládejme, že první okamžik roztažení vesmíru nastane přesně rok po startu Nezadržitelné a každý další nastane vždy zase přesně za rok.
Mohlo by se zdát, že Nezadržitelná na kraj vesmíru nikdy nedoletí, protože ten se od ní vzdaluje rychleji, než se ona sama pohybuje. Jenomže v okamžiku, v němž se vesmír roztáhne, vezme všechno s sebou, a tedy i naši loď. Její vzdálenost od středu se tedy také úměrně zvýší. Podívejme se na situaci po několika prvních letech, abychom si ujasnili podmínky.
Za první rok se loď posune o jeden světelný rok a zbývá jí urazit 999 světelných let ke konci vesmíru. Pak vesmír zničehonic roztáhne svůj poloměr na 2 000 světelných let a loď se posune s ním. Teď se tedy nachází dva světelné roky od středu a ke kraji jí zbývá urazit 1 998 světelných let.
Další rok urazí zase jeden světelný rok, dostane se do vzdálenosti tří světelných let a zbývá jí jich tedy urazit ještě 1 997. Pak se vesmír roztáhne na poloměr 3 000 světelných let, loď se sveze s ním a náhle se nachází již 4,5 světelných let od středu a zbývá jí urazit už jen pouhých 2 995,5 světelných let ke kraji.
Dostane se loď ke kraji, nebo ne? Pokud ano, za jak dlouho?
Návod: Možná se vám bude hodit informace, že n-té harmonické číslo
H(n) = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + … + 1/n
je přibližně stejně velké jako log n + 0,577 215 664 9 (přibližná hodnota tzv. Eulerovy konstanty).

Tento text je úryvkem z knihy:
Ian Stewart : Kabinet matematických kuriozit profesora Stewarta
Argo a Dokořán 2013
O knize na stránkách vydavatele

autor