Tento text je zkráceným a nekorigovaným úryvkem z knihy
David Acheson: 1089 a další parádní čísla – Matematická dobrodružství
***
Při řešení matematických problémů je tedy radno dávat pozor na delikátní chybičky. Jinak bychom mohli snadno dospět k nesprávnému řešení. Existuje ovšem mnohem zrádnější past, která číhá na matematiky při jejich práci. Občas se stává, že daný problém navzdory veškerému očekávání žádné řešení nemá. Zajímavým příkladem je takzvaný Kakeyův problém, nesoucí jméno japonského matematika, který jej zformuloval v roce 1917. Úloha zní: nalezněte nejmenší plochu potřebnou k obrácení jehly o jedné délkové jednotce o 180 stupňů. Tento úkol působí dost nevinným dojmem. Jako první řešení se nabízí kruh o poloměru 1/2, neboť v něm můžeme jehlu prostě otočit bez zbytečných cavyků. Kruh má obsah Pi/4 = cca 0,78.
Po troše přemýšlení ale zjistíme, že lepší řešení nabízí rovnostranný trojúhelník o výšce 1. K tomu už potřebujeme jistý fištrón. Trik spočívá v tom, že zastrčíme jehlu do jednoho rohu, pootočíme ji o 60 stupňů, zastrčíme ji do druhého rohu a tak dále. Trojúhelník má obsah pouze 1/SQR(3) = cca 0.58.
Ještě lepší řešení však nabízí křivka zvaná hypocykloida, kterou opisuje bod na kružnici o poloměru 1/4, valící se po vnitřní straně kruhu o poloměru 3/4. Hledaný obsah je potom roven pouze Pi/8 = cca 0.39. Jehlu je opět možno pohodlně otočit o plných 180 stupňů pohybem připomínajícím obrácení automobilu ve třech krocích. Po několik let měli matematikové za to, že hypocykloida dává správné řešení Kakeyova problému.
Pak, v roce 1927, vybuchla bomba. Jejím původcem byl A.S. Besicovitch, který dokázal, že Kakeyův problém žádné konkrétní řešení nemá, protože jehlu je možno otočit na ploše libovolně malého obsahu, pokud si budeme počínat dostatečně chytře. Čím menší je příslušný obsah, tím spíše musí mít odpovídající oblast užší tvar se spoustou tenkých výhonků vybíhajících ven z centrální oblasti.
Jistou představu o tom, jak taková oblast vypadá, si lze vytvořit pomocí rovnostranného trojúhelníku rozděleného na několik částí, které potom uspořádáme tak, aby se trochu překrývaly. Máme-li těchto částí dostatečně mnoho, pak, jak se ukazuje, má výsledná oblast, zvaná Perronův strom, libovolně malý obsah. Slepíme-li několik takových stromů dohromady, pak se jejich pomocí dá jehla otočit o 180 stupňů.
***
Tento text je zkráceným a nekorigovaným úryvkem z knihy
David Acheson: 1089 a další parádní čísla – Matematická dobrodružství
Překlad Luboš Pick, 184 stran, 36 obrázků a 100 grafů, 198 Kč, http://www.dokoran.cz/index.php?1089_a_dalsi_paradni_cisla&p=book.php&id=185
Anotace vydavatele:
Zvolte si libovolné trojmístné číslo, jehož první číslice se liší od třetí alespoň o dvě. Napište je v převráceném pořadí a menší z obou získaných čísel odečtěte od většího. K výslednému číslu přičtěte totéž číslo napsané převráceně. Dostali jste 1089? Pak jste počítali správně. Milá a vtipná knížka Davida Achesona představuje pozoruhodně zábavný přehled matematické krajiny. Jednotlivá témata zahrnují známé i méně známé fascinující hádanky (královecké mosty, problém balení pomerančů, Velkou Fermatovu větu, indický trik s provazem atd.), které přesahují i do topologie a fyziky. Autor popisuje nejkrásnější matematické vztahy, významné historické souvislosti, a přináší i návod jak správně dělat chyby. Text je výstižně ilustrován světovými karikaturisty.
