Student World

Kolem Goedelova zákona/věty existuje celá řada nedorozumění. Některá z nich se snaží vyvrátit Raymond Smullyan ve své knize Navěky nerozhodnuto, která představuje populární úvod do celé problematiky…

Na Smullyana si možná pamatujete z VTM, která vycházela v 80. letech. Tehdy se zde objevovaly jeho zábavné logické hádanky, mnohodílný příběh detektiva, který se do Transylvánie vydá pátrat po upírech. No a pak začnou příslušné chytáky – někteří obyvatelé Draculova hradu mluví vždycky pravdu, jiní vždycky lžou, ještě další jsou zmatení a neuvědomují si, zda mluví pravdu nebo lžou etc.
V Navěky nerozhodnuto pak Smullyan používá podobných prostředků i k výkladu Goedelovy věty. Namísto upírů zde však na scénu vstupují různí logici: Namyšlení, výstřední, bezesporní, opatrní… Tato označení přitom nemají nic moc společného s psychologií, ale popisují, za jakých podmínek různí logici věří jednotlivým výrokům. Ukazuje se přitom, že paradoxy začínají dávno před Goedelem, samozřejmě už u známého "jeden Kréťan řekl, že všichni Kréťané jsou lháři". Ke Goedelovi a dokazatelnosti se začneme blížit prostřednictvím analýzy výroků typu "nikdy se nedozvíte, že mluvím vždycky pravdu". Pokud se pohybujeme u analýzy lidských výroků, stále ještě máme možnost přestat prostě věřit v definující zákony systému (třeba to, že před sebou máme buď padouchy, kteří vždy lžou, nebo poctivce, vždy říkající pravdu). Jakmile přeskočíme k analýze matematických systémů, tato cesta je nám už uzavřena.

Tím se dostáváme až přímo ke Godelovi a jeho výroku, že pokud je systém (konkrétně aritmetika definovaná Russellem a Whiteheadem) bezrozporný, nemůže dokázat vlastní bezrozpornost. To ale není žádná zvláštní vada aritmetiky – a už vůbec ne doklad její rozpornosti:
Bezrozpornost aritmetiky samozřejmě lze dokázat (není pravda, že se to nemáme šanci dozvědět), ale musíme to provést "my", nelze to uskutečnit v rámci aritmetiky samé, aritmeticky (zde se Smullyan velmi blíží interpretaci, kterou nabízí např. také prof. Peregrin ve své knize Filosofie a jazyk, když zdůrazňuje právě onu potřebu vyskočit "nad systém", díky čemuž můžeme pravdivosti goedelovsky nerozhodnutelných/nedokazatelných výroků dokazovat úplně hravě – http://www.scienceworld.cz/sw.nsf/ID/B5ED33345486616CC1256E97004920C6?OpenDocument&cast=1).
A další věc: Představme si, že existují systémy, v rámci nichž lze dokázat jejich vlastní bezrozpornost. Musíme ale takovému důkazu věřit? Lze dokázat, že ve vnitřně rozporném systému lze naopak dokázat jakýkoliv výrok – tedy i vlastní bezrozpornost :-). Smullayn to přímo přirovnává k tomu, že je také pošetilé někomu věřit jen proto, že tvrdí, že vždy mluví pravdu.
A jde dokonce ještě dále. Ukazuje, že některé systémy nemohou dokázat vlastní bezrozpornost _právě proto_, že jsou skutečně bezrozporné.

Na závěr by snad mohlo čtenáře pobavit i Smullaynovo věnování v úvodu knihy: Všem bezesporně myslícím lidem, kteří se nikdy nedozví, že skutečně myslí bezesporně.

Zdroj: Raymond Smullyan: Navěky nerozhodnuto, Academia, Praha, 2003

Z knihy jsme již citovali tzv. tzv. ‚suprise examination paradox‘, viz http://www.scienceworld.cz/sw.nsf/ID/65E77726F63BFB40C1256EF6005494BF?OpenDocument.

autor Pavel Houser