Student World

Klasickým příkladem jsou zvláštní zvyklosti obskurního, ale velmi zdvořilého mnišského řádu Glaberínů.
Bratři Alfréd, Benedikt a Cyril spí v cele, když se dovnitř vplíží novic Derisius a každému z nich namaluje na oholené temeno modrou skvrnu. Když se mniši později probudí, každý z nich vidí modré skvrny na hlavách ostatních dvou. Klášterní pravidla ale hovoří jasně: Je nezdvořilé vyslovit cokoli, co by přímo zahanbilo
jiného člena řádu, stejně nezdvořilé je však i vyslovit cokoli pohor­šujícího o sobě samém. A nezdvořilost není dovolena za žádných okolností. Mniši tedy nic neříkají a ani jinak nedají najevo, co viděli.
Každý z nich přemýšlí, zda má skvrnu na hlavě i on sám, ale neodváží se zeptat, a v cele nejsou žádná zrcadla ani jiný odrazivý povrch. A tak věci zůstanou do okamžiku, kdy do cely vstoupí opat, zamračí se a sdělí jim (čímž se obratně vyhne tomu, aby kohokoli zahanbil přímo): „Nejméně jeden z vás má na hlavě modrou skvrnu.“
To všichni tři mniši samozřejmě vědí. Změní se pro ně tedy touto informací něco?
Pokud jste se s touto hádankou dosud nesetkali, je lepší začít od jednodušší verze pouze se dvěma mnichy, Alfrédem a Benediktem. Každý z nich vidí skvrnu na tom druhém, ale netuší, co by mohl mít na hlavě sám. Po opatově hlasitém prohlášení začne Alfréd přemýšlet: „Já vím, že Benedikt má na hlavě skvrnu, ale on to neví, protože si na hlavu nevidí. Dobrý Bože, mám i já na hlavě skvrnu?
Hmmm… Řekněme, že ji nemam. To by ale Benedikt viděl, že ji nemám, a z opatovy poznámky by si musel okamžitě domyslet, že ji má on. Jenže on vůbec nevypadá pobouřeně. Nebesa, i já tedy musím mít na hlavě skvrnu.“ Benedikt dojde k podobnému závěru.
Bez poznámky, kterou pronesl opat, by tyto úvahy nebyly možné, i když jim opat evidentně neřekl nic, co by už předtím nevěděli.
I když. Oba věděli, že alespoň jeden mnich (ten druhý) má na hlavě skvrnu, nevěděli však, že totéž ví i druhý mnich.
Je to jasné? Dobrá – a jak to bude se třemi mnichy? Opět si každý z nich může vyvodit, že má sám na hlavě skvrnu, ale až poté, co si vyslechnou opatovo sdělení. Totéž platí pro čtyři mnichy, pět mnichů i více, má-li skvrnu na hlavě každý z nich. Nuže, předpokládejme, že máme 100 mnichů. Každý z nich má na hlavě skvrnu, nikdo z nich to o sobě neví, a všichni uvažují s brilantní logikou. Abychom se vyvarovali problému s načasováním, předpokládejme dále, že opat má s sebou zvon. „Každých deset vteřin,“ řekne mnichům, „na ten zvon zazvoním. To vám poskytne nezbytný čas na přemýšlení. Hned po zazvonění zvednou ruku všichni mniši, kteří si mohou logicky odvodit, že mají na hlavě skvrnu.“ Čeká deset minut, v pravidelných intervalech zvoní na zvon, ale nic se neděje. „Ach ano, já zapomněl,“ dodá. „Ještě tu pro vás mám jednu informaci. Nejméně jeden z vás má na hlavě skvrnu.“
Zazvoní poprvé, podruhé, nic se neděje, zazvoní po devadesáté deváté, pořád nic, a pak na sté zazvonění zvednou ruku všichni mniši najednou.
Proč? Jeden z mnichů, řekněme mnich číslo 100, vidí, že všech 99 ostatních má na hlavě skvrnu. „Pokud já skvrnu nemám,“ říká si, „těch ostatních 99 o tom ví. Tím úplně vypadávám ze hry. Budou uvažovat tak, jak by uvažovalo 99 mnichů, kteří vidí, že já skvrnu nemám. Jestli jsem si správně domyslel, jak bude vypadat logika uvažování v 99 mniších, musí po 99 zazvoněních všichni zvednout ruku.“ Počká na 99. zazvonění, ale nic se nestane. „Aha, takže můj předpoklad byl chybný, i já musím mít na hlavě skvrnu.“ Sté zazvonění a milý mnich zvedá ruku. Stejně tak všech ostatních 99 mnichů.
Ach ano. mnich č. 100 si mohl logiku 99 mnichů domyslet špatně. Pak by se celý systém zhroutil. Logika 99 mnichů (při hypotetickém předpokladu, že stý mnich na hlavě skvrnu nemá) je ale stejná. Teď zase mnich č. 99 předpokládá, že zbylých 98 zvedne ruce při 98. zazvonění, pokud on sám skvrnu na hlavě nemá. A tak to pokračuje rekurzivně dál, dokud se nedostaneme k hypotetickému jednomu mnichovi. Ten nikde žádnou skvrnu nevidí, znepokojí ho pomyšlení, že někdo skvrnu má, ihned si odvodí, že to musí být on sám (na to člověk nemusí být žádný zvláštní myslitel), a zvedne ruku hned po prvém zazvonění.
Protože logika jednoho mnicha funguje, musí fungovat i logika dvou, tří a tak dále až k logice 100 mnichů. Tato hádanka je tedy názorným příkladem principu matematické indukce. Ta říká, že platí-li určitá vlastnost celého čísla pro číslo 1 a vyplývá-li z její platnosti pro libovolné dané číslo, že platí i pro číslo následující, bez ohledu na to, o která konkrétní čísla jde, pak musí platit pro všechna čísla.
Takto se ta historka obvykle vypráví, můžeme ale zajít ještě dál. Až dosud jsme předpokládali, že skvrnu mají na hlavě všichni mniši. Velmi podobnou úvahou však můžeme dojít k tomu, že tento požadavek není nezbytný. Předpokládejme například, že skvrnu na hlavě má jen 76 z celkem 100 mnichů. V takovém případě, pokud všichni uvažují logicky, se nestane nic až do 76. zazvonění, po kterém zvednou ruku všichni mniši, kteří mají na hlavě skvrnu, ale nikdo jiný.
Na první pohled se zdá těžko pochopitelné, jak na to přijdou. Trik je v synchronizaci jejich úvah zvonem a v použití všeobecného povědomí. Zkuste si to nejdříve se dvěma či třemi mnichy a s různým počtem skvrn.

Tento text je úryvkem z knihy
Ian Stewart : Truhlice matematických pokladů profesora Stewarta
Argo a Dokořán 2013
O knize na stránkách vydavatele

autor