(tento text je reakcí na kapitolu „Matematici z formy“ v knize Barrow, John D.: Pí na nebesích)

Citát:

Formalismus vznikl z touhy po jistotě a po kontrole matematických výtvorů lidské mysli. Začal se sebejistotou, neměl ponětí, že by jeho hledání mohlo být zmařeno jinak než lidskou neschopností. Jeho dosažení by umožnilo matematice vyhnout se všem mlhavým otázkám po významu. Matematika by byla pouhým úhrnem inkoustových značek na papíru spojených předem danými pravidly hry, která vycházejí z konzistentních prvotních axiomů. Každé tvrzení, které se rozhodneme vymyslet, můžeme zkontrolovat v logické pavučině formalistické matematiky. Za­padne-li do sítě dedukcí, pak je pravdivé, nezapadne-li, je nepravdivé. Ale „pravdivé“ a „neprav­divé“ nejsou termíny, které musí odpovídat objektům vně logické hry, nemusí odpovídat ničemu ve fyzikálním světě. Gödelovy objevy prokázaly, že toto očekávání je nesplnitelné. Nicméně po­zůstatek formalistické filozofie žije dál a zachází s matematikou jako s umělým výtvorem lidské mysli – souborem hezkých vzorců v abstraktním myšlenkovém prostoru. Je pravda, že je omeze­na Gödelovými větami a že víra těch, kdo ji praktikují, v její konečnou konzistenci, spočí­vá na víře posílené posílené neselhávající zkušeností tisíců let. Co se dá říci o formalistickém vysvět­lení, co je matematika? Je to adekvátní odpověď na záhadu harmonie mezi myslí, fyzikálním svě­tem a symbolickými vztahy matematiky?

Bylo „hledání“ formalismu zmařeno?

Podobně jako v ostatních přírodních vědách, i v matematice bylo zapotřebí najít způsob, jak ověřit, zda jsou předkládaná tvrzení pravdivá. Vědecká etika zakazuje vydávat za pravdivá tvrzení, jejichž pravdivost ověřit nelze. Neověřená tvrzení lze maximálně publikovat jako hypotézy.

V matematice nelze za kritérium pravdivosti tvrzení zvolit experiment. Abstraktní matematické objekty totiž nejsou pro experiment „fyzicky k dispozici“. Proto se matematici shodli na tom, že to, co lze a je také nutno ověřit, je důkaz tvrzení. Pokud by nebyl důkaz nějakým způsobem formalizován, tj. nebylo by určeno, co lze jako důkaz připustit, byli by matematici i při vyžadování důkazu tam, kde předtím, protože za důkaz by mohl kdokoliv vydávat cokoliv.

Formalismus pojem důkazu definoval a tím nastolil jistotu a možnost kontroly matema­tických výtvorů lidské mysli.

Citát:

Nezáživná povaha formalismu – jeho oddělení od aplikací matematiky na reálný svět a to, že z matematiky odstranil význam – byla příliš velkou cenou, kterou bylo nutno zaplatit.

Umožnil formalismus vyhnout se otázkám významu?

Protože formální dokazatelnost vět na významu nezávisí, je vyloučeno, aby ve formálním systému existovala věta, kterou by bylo možno při jednom výkladu pojmů dokázat, zatímco při jiném výkladu pojmů by dokazatelná nebyla.

Přínosy:

• Přínosem tohoto, na první pohled „draze zaplaceného“ a „nezáživného“ „oddělení od reálného světa“ a „odstranění významu z matematiky“ je explozivní nárůst aplikací. Pokud kdoko­liv najde způsob, jak formální systém aplikovat, nic mu nebrání tak učinit bez ohledu na to kdo, jak, z čeho, proč a s jakým původním významem daný systém definoval.

• Přínosem tohoto „odstranění významu z matematiky“ je tvůrčí svoboda každého dát pojmům vhodný význam se zárukou, že pokud nový výklad souhlasí s axiomy daného formálního systému, nemůže být nesprávný.

Citát:

Zůstáváme-li věrni přísné doktríně formalismu, zjistíme, že se matematika rozpadla na střepy. Vyberme nějaký známý pojem, například bod, či přímku. Pak kdykoli formalisté vytvoří odlišný axiomatický systém, který je obsahuje, pokaždé je musí považovat za jiné pojmy, protože jsou plně definovány pravidly axiomatického systému. Protože formalisté nedovolují matematickým pojmům, aby měly nějaký význam, například tím, že by odpovídaly nějakým objektům v reálném světě, nemohou připustit, aby se pojmy daly přenášet z jednoho systému do druhého. Jestliže do systému přidáme axiom, v němž jsou definovány body a přímky, pak nemůžeme předpokládat, že rozšířený systém bude obsahovat identické pojmy bodu a přímky. Všechny pojmy zavádíme znovu.

(Ne)souvislost mezi pojmy v různých axiomatizacích

Pokud se dvě axiomatizace výrazně liší, pak je zákaz přenosu oprávněný a těžko s tím lze něco dělat. Pokud jsou ale odlišnosti axiomatických systémů malé, mnohdy se ukáže, že existuje vnoření jednoho systému do druhého, například když zakřivený prostor, jímž je kružnice, vnoříme do nezakřiveného Eukleidova prostoru. V takovém případě vnoření zobrazí body na body a spojnice bodů na části kružnice. Ve speciálním případě „přidání jednoho axiomu“ bude situace ještě jednodušší. V novém systému platí všechny axiomy systému původního, což znamená, že všechny body a přímky nového systému lze bez potíží považovat za body a přímky systému pů­vodního, pokud se to bude hodit, s tím, že všechna tvrzení dokazatelná v původním systému zůstanou dokaza­telná i na­dále.

Formalismus a pravdivost

Základním pravidlem logiky je, že z libovolné dvojice navzájem si odporujících tvrzení může být pravdivé pouze jedno.

V nekonzistentním systému lze dokázat libovolné tvrzení. Ke každému tvrzení lze definovat jeho negaci, která je v nekonzistentním systému dokazatelná také. Ne­konzistentní systém tedy nemůže mít žádný model (ve kterém by byla všechna dokazatelná tvrzení systé­mu pravdivá).

Pokud se omezíme na konzistentní systémy, Löwenheimova-Skolemova věta existenci modelu zaručuje. Všechna v systému dokazatelná tvrzení jsou přitom pravdivá (v každém modelu). Löwenheimova-Skolemova věta je větou o formálních systémech, a proto ji lze také zařadit mezi výdobytky formalismu.

Jedním z Gödelových výsledků je, že uvnitř určitých formálních systémů nelze dokázat jejich konzistenci. Lze tento výsledek chápat jako „zmaření cílů formalismu“? Gödelův výsledek nevypadá negativně, uvědomíme-li si, že v každém nekonzis­tentním systému lze konzistenci systému dokázat – pro­to, že tam lze dokázat všechna tvrzení. To, že v nějakém systému můžeme dokázat jeho konzistenci, nám tedy o konzistenci systé­mu mnoho neříká. Naopak, pokud systém svou konzisten­ci dokázat nemůže, je nutně konzistentní.

Další Gödelův výsledek se týká neúplnosti určitých for­málních systémů. V případě aritmetiky to znamená, že neumíme a nemůžeme umět vytvo­řit „dostatečně jednoduchý“ (rekurzivně axiomatizovatelný) konzistentní formální systém, který by „popisoval všechny vlastnosti přirozených čísel“.

Tento výsledek lze považovat za ránu pro formalisty, protože ukazuje, že formalis­tická matematika „přirozená čísla (a složitější systémy) neumí jednoduše a úplně popsat“. Lze jej ale i vyložit i jako úspěch formalistické matematiky, které se podařilo prokázat, že „přirozená čísla nejsou jednoduše a současně úplně popsatelná“.

V této souvislosti je zajímavý jiný formalistický výsledek (který lze připsat také Gödelovi), že existuje ko­nečně axiomatizovatelná teorie (Gödelova-Bernaysova teorie množin), která, ač má axiomů ko­nečně mnoho (a tedy „nesrovnatelně méně“ než Peanova axiomatika), umí o přirozených čís­lech dokázat více (což lze interpretovat tak, že je umí popsat lépe) než Peanova axiomatika.

Je formalismus vhodnou filozofií matematiky?

Formalismus se nezabývá otázkami harmonie mezi myslí, fyzikálním světem a symbolickými vztahy matematiky. Pokud se něčím z toho zabývá, tak pouze symbolickými vztahy jako takovými. Z toho plyne, že formalismus nelze považovat za filozofii matematiky, naopak lze mít za to, že formalismus pro filozofii připravil půdu tím, že filozofům umožnil svobodný výklad významu matematických pojmů.

Opírat kritiku formalismu o tvrzení, že „není vhodnou filozofií matematiky“, je tedy s ohledem na to, že se o to nepokouší, poněkud nemístné.

Pokud bychom si měli pomoci analogií s jiným formálním popisem, mohli bychom se například podívat na formální definici Turingova stroje. Je Turingův stroj vhodným popisem konstrukce počítače? Zde jsou důvody proti:

• • Turingův stroj má nekonečnou paměť, zatímco počítač s nekonečnou pamětí sestrojit neumíme
  • U Turingova stroje program není uložen v paměti, ale ve speciální tabulce
• Základní operace Turingova stroje jsou primitivnější, než základní operace běžných počítačů
• Turingův stroj nemá paměť typu RAM – Random Access Memory

Tento „kritický výčet nedostatků“ nemá vliv na užitečnost Turingova stroje, protože ignoruje jeho účel. Tu­ringův stroj není popisem konstrukce počítače, ale popisem toho, jak může vypadat „mechanický výpo­čet“. V tomto směru je Turingův stroj dokonalý, protože všechny existující algoritmy fungující v současných a velmi pravděpodobně i v budoucích reálných (či dokonce i hypotetických, viz Chur­chova-Turingova teze) počíta­čích lze popsat pomocí Turingova stroje.

Analogicky můžeme zjistit, že matematický formalismus není filozofií matematiky, ale popisem toho, jak v matematice probíhá formální ověřování tvrzení. Odpověď matematického formalismu na dotaz „Co je matematika?“ je tak zhruba stejně (ne)přesná, jako odpověď Turingova stroje na dotaz „Co je počítač?“.

Obrázek. Wikipedia, licence GFDL

autor Láďa