Student World

pravidelné páteční „přetištění“ staršího článku

Metahádanky v podání R. Smullyana obnášejí úlohy ve stylu „jak zněla hádanka“, eventuálně „jak odpovídal tázaný“. Přitom třeba vycházíme z toho, že hádanku se určitým způsobem podařilo vyřešit – a právě z existence řešení je třeba rekonstruovat předcházející děj. Za pozornost přitom stojí, že podobně jako lze provést metamatematický důkaz některých formálně nerozhodnutelných tvrzení, platí, že i při řešení hádanek na meta-úrovni může být dokazovací síla odlišná. Metahádanky jsou na jednu stranu prostě hračky, na druhé straně se však už pohybují v blízkosti formulí o (ne)dokazatelnosti.

Příklad metahádanky:
Jsou dva bratři, Bahman a Pervíz. Oba buď vždy mluví pravdu, nebo oba vždy lžou – neví se ale, do jaké „kasty“ jejich rodina spadá (pravdomluvné a lháře známe třeba i ze Smullyanových upírských příběhů). Kdosi se bratrů zeptal, zda jsou ženatí. Bahman odpověděl, že alespoň jeden z nich je ženatý. Pervíz pak prohlásil buď to, že sám je ženatý, nebo to, že sám ženatý není, ale bohužel příběh byl zkomolen a nyní je znám ve dvou verzích. Která z nich je správná? Víme je, že otázka po stavu obou bratrů byla před zkomolením správně rozřešena.

Řešení:
Pokud Pervíz prohlásí, že je ženatý, jsou buď oba výroky pravdivé (oba mluvili pravdu), nebo oba výroky nepravdivé (oba lhali). Mezi oběma situacemi nelze rozhodnout a otázka po ženatosti nemá řešení. Úloha ale vyřešena byla. Pervíz tedy musel prohlásit, že není ženatý (tato verze hádanky je správná). V takovém případě oba výroky nemohou být současně nepravdivé, musejí být tedy pravdivé, Bahman je ženatý a Pervíz svobodný (to už ovšem jen pro kontrolu, v metahádance nás řešení vlastní hádanky zajímat nemusí).

Jiný příklad: před soudce přivedli muže obviněného z krádeže velblouda.
„Prohlásil jsi někdy, že jsi velblouda neukradl?“ ptal se soudce.
„Ano,“ odpověděl obžalovaný (který opět buď vždy mluví pravdu, nebo vždy lže).
„Tvrdil jsi někdy, že jsi ho ukradl?“ pokračoval soudce.
Odpověď se opět ztratila, nicméně soudce dokázal rozhodnout o vině. Ukradl obžalovaný velblouda? Byl pravdomluvný, nebo lhář?

Začátek řešení: Představte si, že by obžalovaný na druhou otázku odpověděl „ano“. Pak tvrdí opak než při první otázce, nemůže být tedy pravdomluvný. Musí lhát a obě jeho tvrzení jsou lživá – nikdy tedy neřekl, že velblouda ukradl, ani to, že ho neukradl, a situaci nelze rozsoudit. Takže… Jak dál?

Zdroj:
Raymond Smullyan: Šeherezádiny hádanky a další podivuhodné úlohy, Portál, Praha, 2004

autor Pavel Houser