Student World

Konečně kniha, která Gödelův důkaz dokázala přiblížit jinak než obecnými poznámkami. Přináší vlastní matematický aparát, jimž je důkaz realizován, činí tak však srozumitelně…

Kniha Gödelův důkaz je původně dílem filozofa Enrsta Nagela a historika matematiky Jamese R. Newmana. Douglas R. Hofstadter, autor známé knihy Gödel, Escher, Bach, pak text upravil z hlediska terminologie – dal volnějším formulacím v původním textu "exaktnější" význam. U kapitoly, která se Hofstadterovým zásahem nejvíce změnila, ponechal překladatel knihy R. Niederle vedle sebe původní i upravenou verzi.

V poměrně útlé knize najdeme úvahy o tom, zda počítače mohou dokazovat matematické věty a jaký je vztah mezi "matematickou silou" počítačů a lidského mozku. (Je-li dán určitý problém, lze postavit stroj na jeho řešení. Nelze ale sestrojit klasický počítač, který by vyřešil každý problém.) Tady je na knize asi nejpatrnější, že její základ byl napsán už přece jen v 50. letech.
Autoři se především snaží ukázat, že Gödelův důkaz není nějakým důvodem k beznaději. Neznamená, že namísto solidní matematiky se musíme uchylovat k nějakým intuicím či rovnou mystice. Neznamená to ani, že existují matematické pravdy nám nutně nepřístupné. Máme prostředky, které se s Gödelovou neúplností a souvisejícími problémy tak či onak vypořádají, ať už jde o transfinitní indukci nebo neformální důkazové prostředky/metamatematiku.
Gödelova práce je podle autorů "příležitost nikoliv pro sklíčenost, nýbrž pro obnovené ocenění sil tvůrčího rozumu." Nejde o to, že by lidský rozum byl nevyhnutelně omezen, ale o to, že jej nelze plně formalizovat. V matematických důkazech bude hrát dále roli invence.

Na knize lze ale zvlášť ocenit, že podává vlastní matematický postup Gödelova důkazu. Na jedné straně se nejedná pouze o vágní rámcový popis konstrukce ("očíslujeme si formule a pak najdeme takovou, která hovoří sama o sobě"), na druhé straně je text jistě třeba na rozdíl od původního Gödelova článku v podstatě srozumitelný i nematematikům. Čtení do metra to sice není, ale pochopit se to dá.

Co v knize zhruba najdete:
– vztah mezi formálními systémy a jejich interpretacemi
– v čem spočíval Hilbertův formalizační program
– zdůraznění rozdílu mezi matematikou a metamatematikou
– provedení důkazu bezrozpornosti systému (konkrétně výrokového kalkulu – v rozporných systémech lze dokázat jakékoliv tvrzení; pro důkaz bezrozpornosti naprosto tedy stačí najít jedno tvrzení, které v systému dokázat nelze)
– popis Russellových a Whiteheadových Principia Mathematica.
– Richardův paradox (de facto heterologie – http://www.scienceworld.cz/sw.nsf/ID/F0F5FECA607DCF03C1256F0E003FE0F8) spolu se zdůvodněním, proč je na rozdíl od Gödelova důkaz se jedná de facto o podvod. Opět se zdůrazní rozdíl mezi matematikou a metamatematikou a poprvé se vyjeví klíčová úvaha – metamatematická tvrzení o dostatečně složitém formálním systému by mohlo jít zrcadlit v tomto systému samotném.
A pak už přichází vlastní Gödelův důkaz. Očíslujeme si logické spojky, aritmetické operace, existenční kvantifikátor, proměnné etc. Pak se odhalí postup, jak každé formuli přiřadit jedinečné číslo (třeba zrovna tenhle krok jsem nikde jinde srozumitelně vysvětlený nenašel). Posloupnost číslic bude sloužit pro umocňování prvočísel. Posloupnosti 8, 4, 13 pak přiřadíme číslo 2 na 8 krát 3 na 4 krát 5 na 13. Protože rozklad složeného čísla na prvočísla je jednoznačný, máme zaručeno, že i každé formuli bude odpovídat jedinečné číslo.
Z druhé strany – jakmile je dáno číslo (přesněji řečeno, Gödelovo číslo – samozřejmě ne všechna přirozená čísla jsou Gödelůvými čísly), můžeme z něj zpětně odvodit původní formuli (respektive konstantu, proměnnou, posloupnost formulí…). V další fázi se pak konečně dostaneme k formulím, které dokáží vypovídat samy o sobě – a je (skoro) hotovo. Ještě je třeba přežít rekurzivní funkce (tady je se srozumitelností výkladem přece jen trochu problém). A nakonec si vyjasníme, v jakém ohledu můžeme o nerozhodnutelné gödelovské formuli tvrdit, že je pravdivá.

Ernest Nagel, James R. Newman (+ Douglas R. Hofstadter): Gödelův důkaz, Vutium, Brno, 2003

autor Pavel Houser