Neeuklidovské geometrie se zakřivením ve čtvrtém rozměru nám připadají jako něco velmi složitého a obtížně představitelného. Hyperbolická geometrie je však paradoxně v řadě případů naopak jednodušší. Podle Rogera Penroseho je vůbec nejelegantnější, takže Penrose sám by si přál, aby svět byl právě takovýto.
“Hyperbolická geometrie má v sobě něco obzvláště elegantního. Bylo by velmi krásné, alespoň podle mého vkusu, kdyby vesmír byl vybudován tímto způsobem.”
Jako příklad uvádí Penrose vzorec pro obsah trojúhelníku z jeho úhlů, který platí v hyperbolickém světě:
180 – alfa – beta – gama = konstanta * obsah
Zdroj: Roger Penrose: Makrosvět, mikrosvět a lidská mysl, Mladá fronta, Praha, 1999
Skutečně krásný vzorec, zejména pokud ho srovnáme s neelegantním vztahem pro obsah trojúhelníku z geometrie rovinné (o odvozování Heronova vzorce jsme se pokoušeli i tady na Science Worldu).
Ze vzorce vyplývá, že v hyperbolické geometrii úhly určují jednoznačně trojúhelník, a proto z nich můžeme vypočítat obsah. V euklidovské geometrii jsou trojúhelníky se stejnými úhly pouze podobné a Heronův vzorec musí vycházet z délky stran.
Konstanta v rovnici odpovídá celkovému zakřivení prostoru "ve 4. rozměru". Ze vzorce pro hyperbolický trojúhelník vyplývá, že čím je obsah trojúhelníku v tomto světě větší, tím větší musí být člen na pravé straně rovnice a tím více se součet úhlů musí odchylovat od 180 stupňů. Tento závěr dobře koresponduje s tím, že na malých měřítcích může eukleidovská a hyperbolická geometrie splývat (možná tomu tak je v našem vesmíru). Čím větší trojúhelník, tím více se projevuje zakřivení.
Zajímavé také je, že pro konkrétní hyperbolický svět s konkrétní hodnotou konstanty můžeme zjistit největší možný trojúhelník vůbec – tj. takový útvar, který má obsah svých úhlů limitně jdoucí k nule. Větší trojúhelník v příslušném hyperbolickém světě již prostě sestrojit nelze – trochu paradoxně, protože hyperbolický svět je sám nekonečný, na rozdíl od do sebe uzavřené geometrie sférické/eliptické.
