Student World

Následující úvahy, ač konzultovány s lidmi s matematickým vzděláním, jsou „povídavé“(doufám, že nikoliv zcela blouznivé) a na úrovni čtenářů populárně vědeckých knih o matematice. Chybí zde formalismus, axiomatický přístup… Za což se erudovanějším čtenářům omlouvám.

Začneme tím, že Goedelovu větu nerozhodnutelnosti určitých tvrzení lze – alespoň v určité interpretaci – použít i pozitivně. Ne jako překážku, ale naopak jako součást důkazu.

Viz také: Goedelova věta jako pomůcka pro matematické důkazy

Představte si třeba, že by věta „každé sudé číslo větší než 2 je součtem alespoň dvou prvočísel“ byla nerozhodnutelná (což nikdo nedokázal a nejspíš to tak ani není, ale je to snad dobře ilustrativní příklad). Znamenalo by to, že je pravdivá. V opačném případě bychom dříve či později totiž dokázali najít protipříklad – příslušné sudé číslo, pro které tato vlastnost neplatí.

Teď pojďme dále. Hypotéza kontinua praví, že mezi množinami mohutnosti přirozených a reálných čísel není žádná jiná s příslušnou mohutností. Jak se uvádí, ukázalo se, že z axiomů teorie množin je tato hypotéza ovšem nerozhodnutelná. Nešla by Goedelova věta teď aplikovat stejně? Pokud by taková množina existovala, pak bychom ji mohli najít. Znamená to tedy, že hypotéza kontinua je pravdivá?

Zde by nás mělo varovat, že Goedelův vlastní názor (jak známo, Kurt Goedel byl přesvědčen, že i nerozhodnutelná tvrzení jsou v nějakém platónském smyslu buď pravdivá, nebo nepravdivá) byl přitom opačný. Hypotéza kontinua podle něj pravdivá není.

Čím se liší situace v hypotéze kontinua a se součty sudých čísel? U libovolně velkého přirozeného čísla dokážeme zjistit, zda je součtem x prvočísel. Ve světě nerozhodnutelnosti ale může být, že problém s množinami se nám jen posune. Najdeme nějakou množinu, ale nedokážeme o ní dokázat, že její mohutnost je taková a taková, pročež s problémem kontinua nehneme.

Druhý přístup k problému: Příslušnou množinu ani nedokážeme najít, protože sada těchto množin už není spočetná, takže nemůžeme skákat po řadě a dříve či později na ni narazit (ovšem můžeme ji najít náhodou i tak?).

Oba přístupy nejsou asi ekvivalentní. V jednom potřebujeme pouze nespočetnost (toho, co prověřujeme jako hypotetická řešení), ve druhém se nám do cesty plete to, že o objektu X nedokážeme rozhodnout, zda má vlastnost Y.

Pokud bude existovat věta „pro každé reálné číslo platí /něco nerozhodnutelného/“, budeme v koncích? (Ještě jinak řečeno, odpovídá goedelovská nerozhodnutelnost třeba Turingovu stroji, který má k dispozici nekonečný čas?)

A hlavně, proč budeme v koncích? Protože nedokážeme reálná čísla seřadit (ale platí-li to jen takto, nemůžeme předpokládat, že číslo vytáhneme z klobouku?), nebo protože neumíme rozhodnout o příslušné vlastnosti?

(Ještě poznámka: z praktického hlediska to asi žádný význam nemá, protože u vět o přirozených číslech se spíše snadněji dokáže jejich pravdivost/nepravdivost než nerozhodnutelnost?)

autor Pavel Houser