Student World

***Druhý úryvek z knihy Neúplnost

Předešlý úryvek z knihy

Gödel a Einstein, slavní a nepochopení
http://www.scienceworld.cz/sw.nsf/ID/3B742ACA632D8FE0C125715B00558711

Formalisté se snažili certifikovat matematickou jistotu odstraněním intuic. Gödel ukázal, že matematika bez nich nemůže dál. Tím, že se omezíme na formální syntaktické ohledy, nedosáhneme ani konzistentnosti (alespoň u systémů dostatečně složitých). Ale co jsou vlastně tyto matematické intuice, které nelze ani odstranit, ani formalizovat? Jak k tomu dojde, že se dávají k dispozici někomu takovému, jako jsme my? Znovu jsme vrženi před tajemnou povahu matematického poznání a před tajemnou povahu nás jako těch, kdo znají matematiku. Jak dojde k tomu, že toto poznání máme? Jak je to vůbec možné? Sám Platón tvrdil, že samotný fakt, že naše mysl může přijít do styku s věčným světem abstrakcí, svědčí o tom, že je v nás cosi z věčnosti – že ta naše část, která může poznat matematiku, je část, která přežije naši tělesnou smrt. Podobně argumentoval Spinoza.
Málokterý vědecky orientovaný myslitel po Gödelovi by asi byl ochoten po vzoru Platóna a Spinozy vyvozovat z naší schopnosti matematického poznání naši nesmrtelnost. Žijeme koneckonců nejen s pravdou Gödelovou, ale i s pravdou Darwinovou. Naše mysli jsou produktem slepého mechanismu evoluce. Přesto mnoho vědecky orientovaných myslitelů po Gödelovi podalo svědectví o tom, že ve zvláštní hudbě Gödelových matematických vět zaslechli zvěsti o podstatě povahy člověka. Z Gödelových vět o neúplnosti vyvozovali závěry o tom, co jsme, anebo, přesněji řečeno, co nejsme. Podle tohoto způsobu uvažování nám Gödelovy věty říkají, co naše mysli zkrátka být nemohou.
Naše mysli podle tohoto způsobu uvažování zejména nemohou být počítači. Matematické poznání, které máme, nelze zachytit do formálního systému. To nám zřejmě říká Gödelova první věta. Ale právě formální systémy jsou tím, co zachycuje počítání počítačů, a proto jsou počítače schopny řešit otázky, aniž by se opíraly o významy. Zatímco počítače fungují podle algoritmů, my, jak se alespoň zdá, ne, z čehož jednoduše vyplývá, že naše mysli nejsou počítače.
Názor dávající do souvislosti Gödelovu první větu o neúplnosti a povahu lidské mysli poprvé publikoval v roce 1961 oxfordský filozof John Lucas:
„Zdá se mi, že Gödelova věta dokazuje, že model mechanismu je falešný, neboli že mysl nelze vysvětlovat jako stroj. Tak to připadalo i mnoha jiným lidem – téměř každý matematický logik, na kterého jsem se s tímto problémem obrátil, se přiznal, že o tom smýšlí podobně, ale nebyl ochoten se k tomu jednoznačně přihlásit, dokud neuvidí úplnou argumentaci, která se patřičně vypořádá se všemi závažnými námitkami. O to se pokouším.“
Lucasova argumentace byla robustně přímá: Ať sestrojíme sebevíce složitý „myslící“ stroj, poběží podle pevně zadaných pravidel, jež je možné formulovat ve formálním systému, a když se tohoto stroje zeptáme, jaké jsou pravdivé výroky, bude to schopen řešit jedině tak, že se podívá, jaké výroky vyplývají z pravidel systému. Takže bude existovat výrok, který se bude vymykat jeho schopnosti pochopit pravdu, což není nic jiného než pravidly určená dokazatelnost – výrok, který naše mysl nicméně dokáže pochopit jako pravdivý. Ať budeme stroj sebevíc posilovat tím, že budeme dosud nezachytitelné výroky přidávat jako axiomy, vždy bude existovat další výrok, který mu unikne, ale nám ne:
„Tuto formuli nebude stroj schopen označit jako pravdivou, ačkoli mysl vidí, že pravdivá je. Stroj tedy stále nebude adekvátním modelem mysli. Snažíme se vyvinout model mysli, který je mechanický, tedy v podstatě ,mrtvý‘ – ale mysl je ,živá‘, může vždy předčit jakýkoli formální, zkostnatělý, mrtvý systém. Díky Gödelově větě má mysl vždy poslední slovo.“
Jiný oxfordský don, matematik Roger Penrose, vydal dvě knihy, Císařova nová mysl (Emperor’s New Mind) a Stíny mysli (Shadows of the Mind), v nichž tvrdil, že z Gödelových vět o neúplnosti vyplývá falešnost představy lidské mysli jako mechanismu a že je obor umělé inteligence ve slepé uličce, hodlá-li plně vysvětlit lidské myšlení.. Penrosova argumentace je obdobná jako Lucasova, ale snaží se ještě zevrubněji předvídat a zodpovědět všechny možné námitky.
„Co Gödelova věta dokázala? V roce 1930 na setkání v Královci brilantní mladý matematik Kurt Gödel překvapil přední světové matematiky a logiky tím, co se později mělo stát jeho slavnou větou. Ta rychle došla uznání jako zásadní příspěvek k základům matematiky, možná ten nejzákladnější, jaký kdy byl objeven. Já se ale pokusím doložit, že Gödel touto větou přispěl také k velkému kroku ve filozofii mysli.
Gödel prokázal mimo veškerou pochybnost, že žádný formální systém korektních matematických pravidel dokazování nikdy nemůže stačit, a to ani v principu, k dokázání všech pravdivých výroků obyčejné aritmetiky. Už to je jistě pozoruhodné. Ale lze přesvědčivě tvrdit, že jeho výsledek prokázal něco více: prokázal, že lidské myšlení nelze redukovat na žádná pravidla. Jedním z mých cílů bude přesvědčit čtenáře, že Gödelova věta toto vskutku ukazuje a poskytuje základ pro mé tvrzení, že lidské myšlení nutně obnáší cosi více, než lze kdy dokázat s počítačem v tom smyslu, jak slovo počítač dnes chápeme.“
Penrose se domnívá, že mysl sice není počítač, ale je to fyzikální systém. Mysl je totožná s mozkem. Proto by nemechanická povaha mysli, vyplývající podle něj z Gödelovy věty o neúplnosti, měla obrátit naše úvahy k nemechanickým fyzikálním zákonům právě takového druhu, jaký nabízí kvantová mechanika. Mysl se schopností matematické intuice, jež prokazatelně nejde zachytit mechanisticky, je nicméně fyzikální systém, a proto bychom měli usilovat o rozvinutí nemechanistického, radikálně nového druhu vědy – v čemž by nám měla být vodítkem tajemství kvantové mechaniky – aby bylo možné vzít v úvahu nekomputační aspekty lidské mysli. Nekombinatorická, nicméně fyzikální povaha myšlení nám ukazuje nekombinatorickou povahu základních fyzikálních zákonů.
Gödel sám byl k vyvozování závěrů o povaze lidské mysli ze svých slavných matematických vět mnohem zdrženlivější. Jak naznačil v rozhovorech s Hao Wangem i v Gibbsově přednášce, kterou přednesl v Providence ve státě Rhode Island 26. února 1951 (a nikdy nepublikoval), to, co je rigorózně dokázáno, není co se týče mysli kategorický výrok. Je to spíše disjunkce, výrok typu „buď-anebo“. Připouštěl tedy, že z jeho věty o neúplnosti nevyplývá čistě a jasně „nemechanismus“. Pro mechanistu zůstávají možné únikové cesty.
Podle Wanga se Gödel domníval, že to, co bylo rigorózně dokázáno – zřejmě na základě věty o neúplnosti – je: „Buď lidská mysl předstihuje všechny stroje (přesněji řečeno dokáže rozhodnout víc otázek z teorie čísel než jakýkoli stroj), anebo existují otázky z teorie čísel pro lidskou mysl nerozhodnutelné.“
Co měl přesně Gödel na mysli tou druhou možností? Myslím, že zde uvažuje o možnosti, že opravdu jsme stroje – tedy že veškeré naše myšlení je mechanické, předurčené pevnými pravidly – ale že podléháme klamu, že máme přístup k neformalizovatelné matematické pravdě. Je možné, že jsme stroje trpící přeludy matematického velikášství. Současně jakoby naznačoval, že z jeho vět vyplývá to, že pokud naše chápání matematických pravd nepodléhá klamu, pokud opravdu máme ty intuice, které si myslíme, že máme, pak nejsme stroje. Pokud opravdu máme ty intuice, které máme, pak není možné, abychom formalizovali (nebo zmechanizovali) všechny naše matematické intuice, což znamená, že opravdu nejsme stroje. Samozřejmě, že neexistuje důkaz toho, že víme vše, co si myslíme, že víme, protože ne vše, co si myslíme, že víme, lze formalizovat; to je koneckonců neúplnost. Proto nemůžeme rigorózně dokázat, že jsme stroje. Věta o neúplnosti tím, že ukazuje meze formalizace, naznačuje, že naše mysli přesahují stroje, a zároveň nám znemožňuje dokázat, že naše mysli přesahují stroje. Opět téměř paradox.
Gödel byl tedy ohledně důsledků své věty o neúplnosti pro lidskou povahu opatrný. Měl sice své intuice ohledně podstaty lidské mysli, ale jako skrupulózní logik nevyvozoval žádné důsledky pouze na základě svých vět. Rozdíl mezi intuicí a rigorózním důkazem byl pro Gödela vždy naprosto zřetelný. Ostatně nevyhnutelnost této distinkce vyplývala právě z jeho slavného důkazu.
Druhá varianta v Gödelově podvojném závěru ohledně našich matematicky poznávajících myslí tedy spočívá v této možnosti: naše přesvědčení o matematickém poznání přesahujícím formalizaci je klamné. Tato možnost – a to, že byla pro Gödela zarážející – je zvláště zajímavá, připomeneme-li si jeden aspekt Gödelova neproniknutelného vnitřního života – jeho vlastní závažné bludy.
Gödelovy věty mají svůj temný odraz v zrcadle strázní psychopatologie. Tak jako nelze provést důkaz konzistentnosti formálního systému v rámci tohoto systému, tak také nelze potvrdit naši racionalitu, dokonce ani ne naše duševní zdraví, pomocí racionality samotné. Jak může člověk opírající se o systém domněnek, včetně domněnek o domněnkách, vystoupit ven z tohoto systému a zjistit, zda je racionální? Jestliže se celý váš systém včetně pravidel, podle kterých myslíte, nakazí šílenstvím, jak můžete pomocí myšlení najít cestu ze šílenství ven?
Jak stojí v jedné učebnici psychopatologie: „Stačí přistoupit na jeden základní předpoklad a bludy mohou být systematizovány do vysoce rozvinutých a racionálních schémat vyznačujících se vysokým stupněm vnitřní konzistentnosti. (…) Bludy mohou často působit logickým, i když nesmírně spletitým a komplikovaným dojmem.“
Paranoia není opuštěním racionálnosti. Je to spíš racionalita utržená ze řetězu, vynalézavá honba za vysvětleními, která se nenechá ničím odradit. Jeden můj známý psycholog to vyjádřil takto: „Paranoidní člověk je iracionálně racionální. (…) Paranoidní uvažování se nevyznačuje nelogičností, ale pomýlenou, zdivočelou logičností.“

***
Goldsteinová Rebecca
Neúplnost – Důkaz a paradox Kurta Gödela
Překlad Martin Weiss, vaz. s přebalem, 272 stran, 298 Kč,
http://www.dokoran.cz/index.php?&p=book.php&id=229

Anotace vydavatele
Dvě věty o neúplnosti, které formuloval rakouský logik, brněnský rodák Kurt Gödel, patří k nejvýznamnějším, ale také k nejčastěji dezinterpretovaným objevům logiky a matematiky 20. století. Tento geniální matematik byl blízkým přítelem Alberta Einsteina, ale sám se cítil intelektuálním vyhnancem. Americká autorka Rebecca Goldsteinová srozumitelně prezentuje strategii Gödelova slavného důkazu. Zároveň nás i provází intelektuální atmosférou míst, v nichž Gödel žil předválečné Vídně a poválečného Princetonu v USA. Popisuje jeho ojedinělé přátelství s Albertem Einsteinem a vysvětluje i jeho skrytou opozici vůči vlivným intelektuálním proudům jeho doby, především vůči pozitivismu proslulého Vídeňského kruhu a názorům neméně proslulého Ludwiga Wittgensteina.
O autorovi: Rebecca Goldsteinová je profesorkou filozofie. V současné době přednáší na Trinity College v Hartfordu. Kromě řady odborných publikací napsala i knihy The Mind-Body Problem (Problém mysli a těla), Properties of Light (Vlastnosti světla) a Strange Attractors (Podivné atraktory). Za své dílo i za vědeckou a pedagogickou činnost získala řadu ocenění, mimo jiné i prestižní cenu MacArthurovy nadace.

Poznámka: Omlouváme se za totálně zahlcené diskusní fórum. "Příspěvky" zahlcovačů budou nadále odstraňovány a příslušné IP adresy blokovány.

autor