Student World

Ještě ze základní školy si zřejmě pamatujete vzoreček pro výpočet obsahu trojúhelníku ve tvaru S = a * v(a)/2. Jenže co když máme zadané pouze délky jednotlivých stran? Geometrické řešení je samozřejmě nasnadě. Trojúhelník je délkami tří stran jednoznačně určený, lze tedy např. narýsovat a změřit velikost libovolné výšky. Jak je to však s příslušným matematickým vztahem?

V Dějinách přírodních věd v datech (Mladá fronta, Praha, 1979) jsem se dočetl, že vzorec odvodil nejpozději Hérón v 1. století našeho letopočtu v knize Metrika, leč pravděpodobně byl znám již 300 let předtím Archimédovi.
Při odvození vzorce lze postupovat následovně

S = a * v(a)/2

nyní rozdělíme stranu "a" a použijeme Pythagorovu větu. Dostaneme soustavu rovnic:

a = a1 + a2
c exp 2 = a1 exp 2 + v(a) exp 2
b exp 2 = a2 exp 2 + v(a) exp 2

vyjádříme a1 a a2 a posléze i v(a) jako funkci a, b, c a dosadíme do původní rovnice. Postup je to poměrně dlouhý a i finální vzorec je dosti komplikovaný.
Aniž by však šlo přímo o něj, zbývá otázka: setkali jste se s ním během výuky matematiky na škole (asi nejspíš v gymnaziální době)? Musím se přiznat, že já zřejmě nikdy, a to ani v podobě černé skřínky, ani v podobě návodu k odvození. Přitom se jedná o úlohu dosti typickou…

autor Pavel Houser