Perlička: Úvod do kakurománie

Matematika | 12.04.2006

Kakuro je další původně japonskou hrou, jejíž popularita ve Velké Británii i v USA zvolna dohání svého trochu staršího sourozence – sudoku. Kdo jednou propadl doplňování číslic do mřížky sudoku, ten si nejspíš oblíbí i kakuro. Tak to alespoň vnímali Britové, když před Vánoci roku 2005 sbírky hádanek kakuro doslova zmizely z pultů knihkupectví i novinových stánků.

Sdílet

Jak se hraje

Kakuro je jakýmsi "součtovým sudoku", nebo snad kombinací sudoku a klasické křížovky. Číslice od 1 do 9 vpisujeme do předvoleného obrazce (na rozdíl od sudoku nemá mřížka u této hry jediný možný tvar, můžeme se setkat s obrazci mnoha typů), ve kterém jsou zadány součty řádků a sloupců – jakási legenda téhle "křížovky".
Kakuro může vypadat třeba takto:

Řádky a sloupce se v terminologii hry označují obvykle jako segmenty. V rámci segmentu se nesmějí opakovat stejné číslice (ale pokud je třeba sloupec složen z více segmentů, v rámci sloupce už jsou stejné číslice povoleny). Z toho lze snadno nahlédnout, že nejdelší segment může mít 9 políček a jeho největší možný předepsaný součet je 45 (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 +7 + 8 + 9). Nejmenší možný součet odpovídá trojce rozepsané do dvou políček (2 + 1). Dobře zadaná úloha má mít jediné řešení.
Na internetu můžete objevit celou řadu serverů, kde lze kakuro hrát, stejně tak jako programy, které generují nové úlohy. V této knize jsme zvolili jiný přístup.
Všechny úlohy naší sbírky jsou ručně sestaveny a ručně vyřešeny. Neměly by tedy nastávat případy časté právě při hraní na internetu, kde se objevují strojově generované úlohy určené nejspíš pro jiné stroje. Na rozdíl od sudoku se může kakuro velice snadno vymknout lidským měřítkům, hra se pak stane velice pracnou a zdlouhavou.
Téhle pasti jsme se snažili vyhnout. Některé úlohy v této knize jsou snadné a jiné těžší, všechny by však měly být luštitelné "lidským" způsobem. Základem řešení by mělo být logické uvažování a dobrý nápad, ne schopnost rychle sčítat, porovnávat dlouhé řetězce čísel a udržet výsledky početních operací v hlavě. V každé situaci by měl existovat následující, jednoznačně odhalitelný logický krok, tedy doplnění další číslice. Nemělo by být třeba "zkoušet" a v případě volby špatné cesty zuřivě gumovat, i když samozřejmě můžete postupovat i takhle. Na minimum je omezena také nutnost používat různé tabulky s vypsanými součty (byť několik jich najdete i v této knize) a čmárat si mezivýsledky vedle na papír. K luštění by opravdu měla stačit tužka a knížka otevřená na příslušné stránce, podobně jako sudoku by i kakuro mělo být ideálním společníkem do dopravních prostředků.
Doufáme, že se nám úlohy podařilo sestavit tak, aby všem luštitelům přinesly příjemnou zábavu. Závislost na sudoku, které již stačilo v naší zemi slušně zdomácnět, je jistě načase doplnit dalším obdobně ušlechtilým návykem…
(z úvodu Luboše Bokštefla a Pavla Housera ke sbírce 101+1 kakuro pro každého, viz http://www.dokoran.cz/index.php?p=book.php&id=232)

Jak kakuro luštit

Řešení kakura nemusí být složité. Každý z hlavolamů v této knize lze vyluštit logickou úvahou, není třeba užívat metodu pokus–omyl a posléze brát do ruky gumu. Pro úspěšné vyluštění každé z hádanek je dobré znát několik tak zvaných jednoznačných součtů. To jsou takové součty, u nichž existuje právě jedna možnost – trojku lze zapsat pouze jako součet jedničky a dvojky, čtyřku jako součet jedničky a trojky (2 + 2 není přípustné, číslice v jednom součtu se nesmějí opakovat), šestka ve třech políčkách je vždy 1 + 2 + 3 a sedmička 1 + 2 + 4. I "horní hranice" součtů jsou vždy jednoznačné – 17 = 9 + 8, 16 = 9 + 7, 24 ve třech políčkách je 7 + 8 + 9 a tak dále. Při řešení úloh se snažíme začít nějakým takovým jednoznačným součtem. Několik dalších jednoznačných součtů uvádíme na konci knihy, další jistě odhalíte sami.

V našem vzorovém případě se jednoznačný součet nalézá v pravém dolním rohu – konkrétně číslo 4. Toto číslo můžeme zapsat jako 1 + 3 nebo 3 + 1. V tomto případě však není možné zapsat trojku do pravého spodního rohu hádanky, neboť potom by součet čísla 6 vycházel jako 3 + 3 – a opakování stejných čísel v jednom součtu není při hádankách kakuro povoleno. Svislý součet tedy musí být 3 + 1 a vodorovně nám vychází 6 = 5 + 1, proto doplníme 5.

Zůstaneme v pravém dolním rohu hádanky a pokusíme se doplnit dvě chybějící čísla ve svislém trojčlenném součtu 10. Pětku již máme doplněnu, zbývá tedy doplnit součet 5 ve dvou políčkách. To lze provést celkem čtyřmi způsoby 1 + 4, 2 + 3, 3 + 2 a 4 + 1. Vodítkem pro správné doplnění čísla nám bude vodorovný součet 15. Ten již obsahuje trojku (to znamená, že na křížení součtů 10 a 15 již další trojka již být nemůže), zbývá tedy doplnit 12 do dvou políček. Díky tomu ovšem můžeme vyloučit i 1 a 2, neboť tato čísla odečtena od 12 dávají dvouciferný výsledek a my, jak známo, můžeme do tabulky kakura zapisovat pouze číslice od 1 do 9. V místě křížení sloupce se součtem 10 a řádku se součtem 15 zapíšeme tedy poslední zbývající možné číslo – 4. Doplněné součty nyní budou vypadat takto 10 = 1 + 4 + 5 a 15 = 8 + 4 + 3.

Stále ještě zůstaneme v pravé dolním rohu naší cvičné hádanky (je přitom jasné, že při řešení kakura lze postupně různě přeskakovat i mezi jednotlivými oblastmi – třeba pokud zrovna v nějaké oblasti nevíte, jak doplňovat dál) a dopíšeme ta čísla, která jsou nasnadě. Tzn. nejprve zbývající číslo ve vodorovném součtu 10 – devítku a poté i poslední číslo ze svislého součtu 21 – čtyřku.

Nyní přesuneme svoji pozornost k obdélníku o rozměru 2 x 3 políčka v levém dolním rohu úlohy a ukážeme si způsob, jak si řešení kakura poněkud zjednodušit. Vodorovné součty obou řádků jsou 6 a 21, sečteme-li i tyto součty, dostaneme číslo 27. Tři svislé součty jsou 12, 8 a 3. Když také je sečteme vyjde nám 33. A právě rozdíl těchto celkových součtů, tedy číslo 6 (33 – 27 = 6), zapíšeme do okénka, které jakoby přesahuje přes námi zkoumaný obdélník o rozměru 3 x 2 políčka – to znamená do třetí řádky odspodu k vodorovnému součtu 8. Můžeme též rovnou doplnit i chybějící číslo v tomto součtu napravo od šestky – dvojku. Různá porovnávání svislých a vodorovných součtů můžeme použít vždy, když se "svislá" a "vodorovná" oblast překrývají až právě na jedno políčko. Obecně lze říct, že tuto pomůcku využijete hlavně v obtížnějších úlohách.

Stále ještě zůstaneme v levém dolním rohu hádanky a doplníme zbývající čísla v obdélníku. Vodorovný součet 6 ve třech políčkách je jednoznačný – 1 + 2 + 3, nevíme však zatím, v jakém pořadí máme tato čísla zapsat.
Svislý součet úplně vlevo ale dává součet 12. Abychom toto číslo dostali, musíme ze součtu pro šestku použít 3. Ve svislém součtu 13 jsme již při minulém kroku vypátrali na prvním místě 6. Do políčka pod ní můžeme nyní napsat buď 1, nebo 2. Pokud bychom sem ale doplnili 1, dostali bychom pod ní opět 6 (součet 13). A to nejde, čísla v součtu se nesmějí opakovat. Pod 6 musí být tedy dvojka. Další číslice v tomto rohu již do součtů prostě doplníme.

Ve svislém součtu 13 jsme již při minulém kroku vypátrali na prvním místě šestku – zbývá tedy 7 rozepsat do dvou políček. Protože součet již obsahuje 6, můžeme vyloučit rozložení 7 na 1 + 6 a 6 + 1. Zbývají tedy čtyři možnosti rozkladu: 2 + 5, 3 + 4, 4 + 3 a 5 + 2. Abychom splnili podmínku vodorovného součtu 6, můžeme použít pouze 2 nebo 3.
A teď pozor. Představme si, že by pod 6 byla napsaná 3. Pod ní by pak musela být čtyřka a ve vodorovném součtu v dolní řádce by zbývalo rozepsat číslo 17. To lze napsat pouze jako 8 + 9. Jenomže svislý součet musí být menší než 8 – a tedy každopádně potřebujeme, aby vodorovný součet dvou políček v levém rohu dole dával méně než 17. Takže svislý "mezisoučet" součet 7 můžeme rozepsat pouze jako 2 + 5 (celkově 13 = 6 + 2 +5).
Tuto "vylučovací" úvahu jsme provedli pouze v hlavě, bez toho, abychom do tabulky museli číslice dopisovat a pak je gumovat.

Nyní upřeme svoji pozornost k levému hornímu rohu naší cvičné úlohy. V prvním řádku je součet 11, ve druhém sloupci 7. Sedmička ve třech políčcích patří do kategorie jednoznačných součtů: 7 = 1 + 2 + 4. Na prvním místě tohoto svislého součtu nemůže být jednička – potom by nám totiž vycházelo, že 11 = 10 + 1. Kdybychom na první místo tohoto svislého součtu napsali 2, vyšlo by nám sice, že 11 = 9 + 2, což by už možné bylo, ale ocitli bychom se v pasti u prvního sloupce, kde by vycházel nesmysl 8 = 9 + ?. Z výše uvedených okolností tedy logicky vyplývá, že na prvním, horním místě ve svislém součtu 7 nemůže býti jiné číslo než čtyřka. Doplnit samostatně zbývající čísla v levé horní části úlohy by pro luštitele, jenž dočetl návod až sem, nemělo být zvláštním problémem. (Pomůcka: vodorovný součet 12 bude začínat jedničkou, takže je jasné, jak bude uspořádána 1 a 2 zbývající ve svislém součtu 7.)

V pravém horním rohu naší tabulky uplatníme znovu metodu, při níž budeme zjišťovat přesah obsahu obdélníka, jak jsme si již ukázali při čtvrtém kroku naší instruktáže. Celkový součet všech políček tohoto obdélníka zjistíme z vodorovných součtů – 11 + 20 = 31. Součet všech políček i s jedním políčkem přesahujícím zjistíme ze svislých součtů – 21 + 5 + 10 = 36.
36-31 = 5, hledaným číslem je tedy pětka a zapíšeme ji do přesahujícího políčka, to znamená do třetího řádku k vodorovnému součtu osm na druhé místo. Na první místo doplníme logicky 3. Opět samostatně již můžeme doplnit i zbývající čísla v pravém horním obdélníku. Začneme třeba tím, že 21 bez 5 je 16, což lze napsat pouze jako 7 + 9 (8 + 8 nelze, číslice by se opakovaly). Ve vodorovném součtu 11 ovšem 9 být nemůže, protože součet by nám pak "přetekl" (součet 2 nelze rozepsat do dvou políček). Pod 11 musí být tedy číslo 7. A tak dále.

Naším posledním úkolem je doplnit čtyři zbývající políčka vprostřed úlohy. Záchytným bodem nám tu bude součet 22 ve čtvrtém řádku. Tento součet již obsahuje sedmičku, z toho plyne, že chybějícími dvěma čísly v mezisoučtu 15 jsou 6 a 9 (součet 15 = 7 + 8 je vzhledem k již přítomné 7 předem diskvalifikován). Dosadíme-li 9 vedle 7 do svislého součtu 13, vychází nám 13 = 9 + x + 2, kde x je na první pohled rovno nežádoucí dvojce (zapovězené opakování číslic v součtu). A tím máme celou úlohu v podstatě vyřešenu. Součet 22 zapíšeme v pořadí 7 + 6 + 9 a na závěr si můžeme s chutí užít triumfální pocit při vyplnění posledních dvou volných okének.