Student World

***pravidelné páteční „přetištění“ staršího článku

Podívejme se nejprve do historie, konkrétně do světa antické geometrie. Nejznámější řecké úlohy měly konstrukční charakter – trisekce úhlu, kvadratura kruhu, zdvojení krychle… Tyto úlohy bylo třeba v první řadě řešit pouze za použití pravítka a kružítka, v druhé řadě konečným počtem kroků. Právě to bylo překážkou pro uznání postupů, které se objevily už ve starověku a využívaly křivku zvanou kvadratrix. Její konstrukce však vyžadovala užití něčeho, co zhruba odpovídalo našemu chápání limity.
Často bývá uváděno, že kvadraturu kruhu je nemožná, protože Pí není racionální číslo. Díky tomu nedokážeme délku Pí „vzít do kružítka“. To ale není správné – odmocnina ze dvou také není racionální (navíc to bylo první číslo, o kterém iracionalita podařilo dokázat), ale zkonstruujeme ji velmi jednoduše – je to úhlopříčka jednotkového čtverce.
V případě Pí je podstata problému v tom, že Pí je nejen iracionální, ale i transcendentní. Iracionální čísla se dělí na algebraická a transcendentní. Algebraická jsou přitom řešením algebraických (polynomiálních) rovnic – třeba odmocnina ze dvou je řešením rovnice x^2-2=0. Transcendentní čísla takto nijak vyjádřit nelze. Zajímavé je, že za mohutnost množiny reálných čísel jsou odpovědná právě čísla transcendentní – algebraických čísel je stále stejné nekonečno (alef, kardinalita) jako těch racionálních.

Dlouho však žádné transcendentní číslo nebylo známo (kuriózně – přitom jich je na ose nekonečněkrát více než ostatních), jako první se to podařilo ukázat u e. U Pí se nejprve podařilo dokázat, že je iracionální, to ale stále ještě nestačilo. V druhé fázi se podařilo ukázat, že goniometrické funkce, prostřednictvím kterých můžeme napsat Pí, jsou transcendentní (to ale ještě stále nestačilo. Funkce sin x je transcendentní, a přesto má v řadě bodů algebraická, ba i racionální řešení). Teprve ve třetím kroku byla dokázána i vlastní transcendence Pí a tím i nemožnost kvadratury kruhu.

Petr Beckann mj. uvádí, že to alespoň nějak opodstatnilo obsesi, se kterou tolik lidí počítalo Pí na stále větší počet desetinných míst. Proč totéž nedělali třeba u odmocniny ze 2? V první řadě proto, že je zajímalo, zda neobjeví nějakou periodu a zda Pí přece jen není racionální, byť vyjádřitelné nějakým hodně složitým zlomkem. Iracionalita Pí byla totiž dokázána až poměrně pozdě, až v novověku (oproti odmocnině ze 2 se zpožděním více než 2 000 let). Pak zde byla vazba na konstrukční úlohu – kvadraturu kruhu.
A konečně a především, Pí je výjimečné i tím, jak je jakoby osamocené. Odmocnina ze 2 je prostě jedna z iracionálních odmocnin. Sinus 1 stupně je prostě obdoba sinu 2 stupňů – a tak dále. Pí je však výjimečné a snad právě zde je důvod pro až obsedantní zpřesňování této hodnoty.

Závěrečné poznámky:
– V rozvoji iracionálního čísla lze v principu najít libovolnou posloupnost číslic. Můžeme pokládat za dokázané, že někde v rozvoji Pí se nachází 1000 devítek, i když jsme je ještě nenašli? Zde se dostáváme k filosofii matematiky-logiky. (Otázky spojené s konstruktivismem, zákonem vyloučení třetího atd.)
– Číslice v rozvoji Pí by se statisticky měly vyskytovat se stejnou frekvencí (samozřejmě nezávisle na zvolené číselné soustavě). V rozvoji do „velkých čísel“ to tak skutečně platí (osobně mi kdysi dávno na ZŠ vždy vrtalo hlavou, proč v prvních číslicích rozvíjejících Pí není nikde třeba nula – na dalších místech samozřejmě je :-)).

Petr Beckmann: Historie čísla Pí, Academia, Praha, 1998

Aktualizace: Na jednom místě jakoby vyplývalo, že všechna aglebraická čísla lze sestrojit pomocí pravítka a kružítka, tak to ale není.

autor Pavel Houser