Student World

Obecně se příliš neví, že hodnotu čísla Pí lze zjistit pozorováním hvězd. Tahle zvláštnost navíc nemá astronomické důvody, ale je založena na teorii čísel. A ono to funguje – jenže nikoli kvůli existenci nějakého tajemného nebeského schématu, ale naopak spíš proto, že žádné neexistuje.

Předpokládejme, že si náhodně vyberete dvě nenulová celá čísla, menší nebo rovná určitému hornímu limitu.

Pravděpodobnost by měla fungovat stejnoměrně – čili každé číslo by mělo mít stejnou šanci, že si vyberete právě je. Horním limitem může být například jeden milion a vybranými čísly řekněme čísla 14 775 a 303 254, každému z nich odpovídá pravděpodobnost jedna ku milionu. Nyní si položme otázku: Mají tato dvě čísla nějakého společného dělitele (většího než 1) nebo nemají? V tomto případě nemají.

V obecné rovině matematici zabývající se teorií čísel dokázali, že jak se horní limit libovolně zvětšuje, poměrný počet dvojic bez společného dělitele se blíží k číslu 6/Pí². Tento pozoruhodný výsledek je jednou z mnoha vlastností čísla n, které nemají žádnou spojitost s kruhy. Jde o přesný číselný údaj, žádnou aproximaci, a lze ji (za pomoci určitých lstivých triků) odvodit ze vzorce

1 + 1/4 + 1/9 + 1/13 + 1/25 + … = Pí² /6

Robert Matthews napsal v roce 1995 do vědeckého časopisu Nature krátký příspěvek, v němž poukázal na to, že na základě této věty lze rozumně přesnou hodnotu čísla n vyextrahovat z postavení hvězd na noční obloze – za předpokladu, že polohy hvězd na nebi jsou náhodné. Navrhoval vypočítat úhlové vzdálenosti mezi velkým počtem hvězd (tzn. úhly mezi přímkami spojujícími tyto hvězdy s okem pozorovatele) a poté tyto vzdálenosti převést na velká náhodná čísla. (Vlastní vzorec, který použil, spočíval v tom, že se ke kosinu daného úhlu připočetlo číslo 1 a součet se vynásobil hodnotou půl milionu.) Škrtnete-li všechny číslice za desetinnou čárkou a přitom vyloučíte hodnotu nula, dostanete seznam kladných celých čísel v intervalu 1 až milion. Nyní vybírejme náhodně dvojice čísel a označme poměrný počet dvojic bez největšího společného dělitele jako p. Potom bude p přibližně 6/Pí² , takže n je přibližně odmocnina ze 6/p.

Matthews tento výpočet provedl pro 100 nejjasnějších hvězd na obloze, čímž získal seznam 4 095 celých čísel v intervalu 1 až milion. Z nich získal milion párů náhodně vybraných čísel a zjistil, že p – 0,613333. Hodnota n by tedy měla být přibližně 3,127 72. To není tak dobrý výsledek jako standardní školní aproximace 22/7, ale nachází se v toleranci 0,4 procenta od správné hodnoty. Použití většího počtu hvězd by tento výsledek mělo vylepšit. Matthews zakončil svůj dopis slovy: „Moderní pythagorejce může povzbudit zjištění, že hodnotu Pí lze s přesností 99,6 procenta vyčíst z hvězd nad jejich hlavami.“

Tento text je úryvkem z knihy
Ian Stewart : Truhlice matematických pokladů profesora Stewarta
Argo a Dokořán 2013
O knize na stránkách vydavatele

autor