Student World

Jaké jsou hlavní přednosti matematického platonismu a jakým výtkám je tento myšlenkový směr naopak vystaven? Z mnoha stran se tento problém snaží řešit John Barrow v knize Pí na nebesích. Vztah mezi matematikou a "světem" můžeme samozřejmě nahlížet řadou různých způsobů…

Platonismus se v první řadě vymezuje proti konstruktivismu, který uznává pouze pozitivní důkazy, "konstrukce" (v některých verzích např. odmírá důkaz sporem, použití nekonečen apod.). Podle matematických platoniků nic nekonstruujeme; cílem není sčítat či odčítat, ale odhalit (matematickou) pravdu.
Proti jiným verzím konstruktivismu, "sociálního", který matematiku pokládá především za lidský kulturní výtvor, argumentují matematičtí platonikové tím, že některé matematické objevy se dějí nezávisle na sobě (protiargument – takto vznikají i jiné objevy, lidé mají stejnou biologickou podstatu a často i kultury mají obdobný vývoj, mohly se také přímo ovlivňovat, i když o tom dnes nevíme…). Závažná je také námitka, že matematické objevy "přesně korespondují s přírodou". Tedy opět – matematiku podle platoniků nevynalézáme, ale objevujeme. Číslo Pí existovalo, i když neexistovali matematici. (Nicméně konstruktivisté mohou namítnout, že toto číslo je výsledkem konstrukce pomocí určitého algoritmu.)
Vážnou otázkou zůstává, jakým způsobem se ale takové matematické objevy dějí. V dialogu Menon Platón líčí svoji představu "anamnesis", jakési vzpomínky na svět idejí. Nejde přitom o nějaké znalosti z minulých životů – Roger Penrose to přeformuloval tak, že naše mysl má nějakým způsobem přímý přístup k matematickým entitám – "pravdám". Kurt Goedel pak rovnou postuloval jakousi tajemnou matematickou "intuici", která je obdobou smyslového vnímání, ale není proto o nic méně objektivní (ostatně existují i smyslové klamy).
V Goedelově podání byla platónská matematika navíc vyhrocena i proti formalismu, jehož zastánci (Hilbert či jeho žáci) přitom patřili do podobné skupiny. Goedel se na rozdíl od formalistů domníval, že není možné (nebo správné?) konstruovat libovolné axiomatické systémy, ale pouze jeden z nich zachycuje pravdy existující v platónském světě. Pokud je nějaké tvrzení nerozhodnutelné, musíme prostě dodat ty "správné" axiomy, objektivně musí být buď pravdivé nebo nepravdivé.
Tato koncepce samozřejmě působí mysticky a navíc neřeší, co přesně do množiny matematických pravd zahrnout. Patří sem třeba nekonzistentní systémy a nepravdivé věty? Čísla jako taková? Banální početní operace? A co třeba "skorokružnice", bude i jí odpovídat nějaká idea? Je jasné, že musíme pečlivě odlišit, co je hodno účasti ve společnosti ideálních forem. (Je možné např. uvažovat v souladu s koncepcí Tegmarkovy katedrály, že nekonzistentní systémy existovat mohou, ale nemohou mít fyzikální reprezentaci, protože ta musí být logicky konzistentní?)
Otázkou zůstává také vztah "matematických objektů" k realitě. Už Aristoteles tvrdil, že zde hrozí nebezpečí regresu – pokud je mezi hmotným objektem a ideou nějaké společné "sdílení/spojení", pak bychom museli předpokládat ještě nějaký zastřešující entitu atd.
Jedna z výtek vůči matematickému platonismu spočívá v kritice jejích "hodnotových postojů", které staví ideální entity nad reálný hmotný svět – v tom se matematický platonismus výrazně rozchází s křesťanstvím a byl by zřejmě bližší třeba gnosi. Někteří kritici zase tvrdí, že je pošetilé "chtít se stát" pravdivostní formulí či číslem nebo množinou.
Další kritici zase soudí, že pojem "existence" nemá pro matematické objekty na rozdíl od věcí žádný rozumný smysl a totéž se pak podle nich týká i diskusí o matematickém platonismu jako takovém.

Zdroj: John D. Barrow: Pí na nebesích, Mladá fronta, Praha, 2000

pokračování – druhý díl
http://www.scienceworld.cz/sw.nsf/ID/A480EC129786000AC1256F1000593CBC?OpenDocument&cast=1

autor Pavel Houser