Počítání mezi Eufratem a Tigridem (1)

Člověk | 06.03.2006

Na Science Worldu jsme se již několikrát zabývali dějinami matematiky v nejstarších dobách ještě před antickým Řeckem. Viz např. články
Vznik prvních pozičních soustav
http://www.scienceworld.cz/sw.nsf/ID/40A738EB397D9408C1256E970048A02F
nebo dva rozhovory s Hanou Vymazalovou, které se týkaly matematiky staroegyptské:
O počátcích staroegyptské civilizace, hieroglyfech i mumiích z filmů
http://www.scienceworld.cz/sw.nsf/ID/E356FA9F7304436AC1256EDE00469D46
Číslo Pí, odmocňování a další zajímavosti starověké matematiky
http://www.scienceworld.cz/sw.nsf/ID/97FF77208F45A15FC1256F04004064C3

V následujícím rozhovoru se zaměříme na matematiku starověké Mezopotámie. Na naše otázky odpovídá RNDr. Martina Bečvářová, Ph.D., odborná asistentka katedry aplikované matematiky Fakulty dopravní ČVUT v Praze, která se věnuje historii matematiky.

Co máme vlastně přesně na mysli, když hovoříme o mezopotamské matematice? V Mezopotámii se přece střídaly národy, Sumerové, Akkadové, Babylóňané, Asyřané…

Vývoj mezopotamské matematiky musíme chápat v souvislosti s obecnou historií této země, a to zejména v období 4. až 1. tisíciletí př. n. l.
Dějiny Mezopotámie (tj. Meziříčí), území mezi dvěma řekami, Eufratem a Tigridem, jsou složité. Tato oblast byla vzhledem k příznivým životním podmínkám v jinak nehostinné okolní krajině pouští a hor středem zájmu řady národů. Ve 4. tisíciletí zde vznikla jedna z prvních vyspělých civilizací – civilizace sumerská.
Ve 4. tisíciletí se lidé naučili budovat zavlažovací a odvodňovací kanály, půda pak dávala i několik sklizní do roka, populace narůstala. Růst osad a nadprodukce potravin vedla k nutnosti budovat opevnění a ke vzniku prvních měst; jejich přirozeným centrem se stal nejprve chrám, později vladařský palác, rozvoj hospodářské výroby si vynutil vytvoření složité společenské a politické struktury, vznikaly městské státy, království, říše. Na sklonku 4. tisíciletí se rodily první zákony, vzniklo písmo, začalo se psát na hliněné tabulky, objevily se první nepoziční zápisy čísel. Lidé se naučili provádět základní aritmetické operace a malovat jednoduché geometrické vzory.
První suverénní městské státy spojovala společná kultura i jazyk (sumerština). Vedly však neustálé spory a války o přístup k vodě, o úrodná území apod. V sumerském období vznikl metrologický systém, byly položeny základy šedesátkové soustavy, zápis čísel v šedesátkové soustavě byl rozvíjen i v dalších obdobích. Rozsáhlé oblasti sumerských městských států sjednotil až semitský panovník Sargon z kmene Akkadů; jeho říše sahala od Středozemního moře až k Perskému zálivu. Akkadský stát převzal písmo, kulturu i politické zřízení vyspělejších Sumerů, došlo k rozšíření šedesátkové poziční soustavy, rozvoji početních metod, byly sestavovány první tabulky pro násobení a dělení, které umožnily algoritmizaci aritmetických operací a další rozvoj aritmetiky a algebry.
Ve druhé polovině 3. tisíciletí byl akkadský stát rozvrácen nájezdy Gutejců. Po vyhnání Gutejců se centrem "novosumerské" říše stalo město Ur. Rozvíjelo se umění (epos o Gilgamešovi) i věda, došlo k výraznému rozvoji matematiky. Dokládají to dochované hliněné tabulky s matematickými texty. Urský stát však zanikl na přelomu 3. a 2. tisíciletí po vpádu semitských Amoritů, vznikla Starobabylónská říše, jejímž hlavním městem byl Babylón, nejznámějším panovníkem Chammurabi (18. století), za jehož vládl vznikl proslulý zákoník. Ve starobabylónském období došlo k velkému budování měst, k rozvoji věd, umění i obchodu, nastal výrazný rozvoj algebry, geometrie a astronomie. Proběhla zásadní algoritmizace výpočtů, byly kanonizovány dřívější tabulky pro násobení a dělení, objevily se algoritmy pro výpočet druhé a třetí odmocniny přirozeného čísla, byly řešeny i poměrně komplikované úlohy vedoucí na lineární, kvadratické a kubické rovnice a jejich soustavy. Z tohoto období je dochováno nejvíce matematických pramenů. Mezopotamská matematika v té době patrně dosáhla svého vrcholu.

A potom přišel úpadek matematických znalostí?

Patrně ne, spíše stagnace. Úspěšná vláda amoritských a dalších dynastií skončila v 17. století, kdy Babylón dobyli Chetité, v 16. století uchvátil na několik století moc v zemi horský kmen Kassitů, který však převzal vyspělou kulturu poražené země. I v těchto stoletích byla pěstována matematika, astronomie a astrologie zhruba na úrovni starobabylónské říše. Nově byly popsány heliakické východy hvězd, astronomická pozorování byla doprovázena složitějšími výpočty. Astronomie za vlády Kassitů dosáhla značného rozkvětu.
Konec 2. tisíciletí byl obdobím politického rozvratu, zmatků a úpadku. Na severu Mezopotámie vznikl nový městský stát Aššur, který položil základ Asýrie. Ta dosáhla největšího rozkvětu v 8. a 7. století, kdy získala rozsáhlá území na Blízkém východě a v Egyptě (hlavní město Aššur, později Ninive). Na jihu Mezopotámie obnovila v 7. století silný babylónský stát chaldejská dynastie. Vytvořila Novobabylónskou říši, jejímž hlavním městem byl opět Babylón. V 1. tisíciletí př. n. l. došlo v Mezopotámii ke zrodu velkých knihoven, nových palácových a chrámových škol a k nárůstu vzdělanosti. Rozvíjeny byly např. aproximační metody, sepsány byly nové astronomické „učební texty“ ovlivněné novými pozorováními. Zdokonalil se poziční zápis v šedesátkové soustavě, neboť se zrodila nula.
Roku 539 ovládla Mezopotámii Perská říše. V době perské vlády se výrazně rozvíjela astronomie navazující na chaldejské tradice. Byl nově rozpracován kalendář, objevily se astronomické předpovědi zatmění Slunce a Měsíce (tzv. perioda saros), rozdělení zvířetníku do dvanácti souhvězdí (znaků), byla studována periodicita oběhu planet.
Ve druhé polovině 4. století dobyl Perskou říši Alexandr Makedonský. Od tohoto období již nemá smysl hovořit o mezopotamské kultuře. V této době se na Blízkém východě rozvíjela především astronomie. Byly sestaveny nové tabulky pohybu Měsíce a planet a rozsáhlé tabulky předpovědí a horoskopů. Matematika byla důležitým nástrojem, který umožňoval zlepšování astronomických výpočtů.

Jaké bylo postavení matematiky v mezopotamské společnosti?

Matematika byla od nejstarších dob v mezopotamském světě uznávanou a velmi ceněnou vědou, která měla důležité aplikace v běžném životě (správa státu, obchod, stavitelství, stavba lodí, výstavba zavlažovacích kanálů apod.). Byla vyučována již v nejstarších sumerských školách. Znalost zápisu čísel, zvládnutí základních početních operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení, odmocňování), umění počítat rozdělení majetku, výši daní a úroků, řešení slovních úloh, základy geometrie, to vše bylo vyžadováno od písařů, státních úředníků, politiků, od každého vzdělaného člověka. Výuka matematiky byla těsně propojena s ostatními vědami a pevně ukotvena ve vzdělávacím systému, který byl budován od třetího tisíciletí a který postupně přebíraly okolní národy i dobyvatelé Mezopotámie. Některé doklady o struktuře a úrovni škol, školní úlohy a práce žáků, účetní zápisy a záznamy, soupisy kořistí apod. se nám dochovaly již z 3. tisíciletí.

Snad by bylo zajímavé se teď podívat mezopotámské matematice podrobněji na zoubek. Jak vypadaly nejstarší zápisy čísel?

Již v 7. tisíciletí se v Mezopotámii objevovaly malé hliněné modely geometrických těles (např. kužele, válce, koule), tzv. tokens. „Hromádka“ těchto tokens znázorňovala určité množství daného druhu zboží (plodiny, zvířata apod.). S rozvojem měst došlo ke standardizaci jejich tvarů i používání. Aby byla zajištěna správnost záznamu, ukládaly se hliněné modely do speciálních hliněných obálek, na které se navíc ještě otiskovaly, aby bylo na první pohled jasné, kolik tokens v obálce je, tj. kolik zboží bylo prodáno, směněno, zapůjčeno apod. Od těchto otisků byl již jen krůček ke skutečnému zápisu čísel.
Jak už jsme uvedli, na přelomu čtvrtého a třetího tisíciletí se v Mezopotámii zrodilo jedno z nejstarších písem světa. Za jeho objev vděčíme Sumerům.
Původní písmo bylo obrázkové. Do měkké vlhké hlíny – na hliněné tabulky – byly ostrým rákosovým pisátkem zakreslovány jednoduché obrázky složené z rovných a oblých čar; znázorňovaly nejdůležitější předměty běžného života. Během staletí postupně vznikaly další a další znaky (tzv. piktogramy), jejich počet narostl až na dva tisíce. Možnosti takovéhoto písemného vyjadřování však byly velmi omezené. Piktogramy se však začaly používat i v jiném významu, pro slova, která zněla stejně či podobně. Postupem času se funkce znaku vzdalovala od původního významu, nakonec se od něj zcela odloučila a zachovala si jen zvukovou hodnotu. Fonetizace písma je tedy obrovským přínosem sumerské civilizace, i když nebyla provedena důsledně. Písmo, které Sumerové vytvořili, převzaly některé okolní národy a přizpůsobily je svým potřebám.
Tolik tedy o vlastním písemném systému. Mezopotamský zápis čísel samozřejmě úzce souvisel se způsobem psaní jako takovým. Již na přelomu čtvrtého a třetího tisíciletí se objevilo několik různých systémů zápisu čísel. Nejčastěji používaný systém měl nepoziční aditivní charakter kombinující základ 10 a 6. Měl samostatné symboly pro 1, 10, 60, 600, 3 600 a 36 000 – byla to kombinace otisků dvou jednoduchých tokens (kužel a koule), neboť byly snadno čitelné i reprodukovatelné.
Tento systém vydržel zhruba do poloviny třetího tisíciletí, kdy byl postupně nahrazován novým, pokročilejším akkadským zápisem založeným na poziční soustavě o základu 60. Nejprve se objevily dva oblé znaky pro jednotku a desítku, které byly psány pisátkem s kulatým hrotem. Jednotka byla zapisována jako oválek, desítka jako kolečko, znak pro šedesátku byl stejný jako znak pro jednotku.

To však ještě není ten známý klínový zápis…

V průběhu třetího tisíciletí se postupně měnil způsob psaní, písmo a tedy i záznam čísel. Původní ostré pisátko bylo nahrazeno seříznutým, které sloužilo k zaznamenávání otisků připomínajících klínky. Piktogramy tak byly přetvořeny ve „shluky“ klínků, a proto dnes hovoříme o klínovém písmu.
Ostrým pisátkem byla jednotka (a šedesátka) zapisována jako jednoduchý klínek a desítka jako dvojitý klínek. Zápis čísel od 1 do 59 byl aditivní, použil se patřičný počet znaků pro jednotku a desítku. S pomocí dvou základních znaků bylo možno zapsat libovolně velké i malé číslo. Výhoda zápisu spočívala v tom, že pro zápis jednotky v libovolném šedesátkovém řádu byl používán stejný znak.
V hospodářských textech byl ještě někdy používán i nepoziční desítkový systém kombinovaný se systémem šedesátkovým doplněným speciálními znaky pro 120, 1 200 a 3 600. V matematických textech se od poloviny třetího tisíciletí již s jiným zápisem nesetkáváme.
Na počátku druhého tisíciletí se v Mezopotámii tento poziční zápis ustálil. Čísla byla zapisována do řádků zleva doprava od nejvyššího řádu k nejnižšímu řádu. Tento zápis byl velmi jednoduchý, s čísly takto uvažovanými se dalo dobře počítat.
Poznamenejme ještě, že dnes v literatuře o mezopotamské matematice zapisujeme mezopotamská čísla v symbolice současné. Například zápis (2,1,15;3,20) znamená 2 x 602 + 1 x 60 + 15 + 3/60 + 20/3 600.

Byl tedy nějaký problém při zápisu čísel?

Mezopotamský zápis čísel byl jednoduchý a názorný, ale měl jeden problém. Dlouhou dobu totiž chyběl znak pro nulu a s tím souvisely určité zmatky při rozlišování řádů. Zapsaná čísla bylo třeba často pochopit z kontextu; pokud byla používána malá čísla (tj. do třetího řádu), většinou to nečinilo potíže. Například zápis (3 5) bez vložené čárky či středníku můžeme vyložit jako 3 x 60 + 5, nebo 3 x 3 600 + 5 x 60 nebo 3x 3 600 + 5 nebo 3 + 5/60 apod.
Po dlouhá staletí nenacházíme v Mezopotámii žádné stopy po samostatném znaku pro nulu. Teprve rozvoj astronomie v prvním tisíciletí a s ním spjaté sestavování tabulek, z nichž bylo nutno čísla rychle číst a jednoznačně vykládat, vyvolal potřebu nuly. Je třeba říci, že tabulky byly sestavovány v menší míře již ve druhém tisíciletí; problém chybějícího řádu byl řešen malou mezírkou v zápisu čísel. Pokud však chybělo více řádů za sebou, bylo toto řešení nedostačující. Teprve v 8. století se objevují pokusy kodifikovat symbol pro nulu; až ve 4. století byl zaveden jednotný znak pro nulu, jakýsi malý dvojitý klínek. Bylo též stanoveno, že se nebude používat na začátku a na konci zápisu, ale jen „uprostřed“ čísla. Nula je jedním z objevů mezopotamských počtářů.

zakladni symboly zapis cisel v sumerske nepozicni soustave, zapis je ze 3. tisicileti, Uruk.