Student World

Dokončení rozhovoru o mezopotámské matematice. Na naše otázky odpovídá RNDr. Martina Bečvářová, Ph.D., odborná asistentka katedry aplikované matematiky Fakulty dopravní ČVUT v Praze, která se věnuje historii matematiky.

1. díl rozhovoru
http://www.scienceworld.cz/sw.nsf/ID/E4791E281AF23D66C125712000551090

2. díl rozhovoru
http://www.scienceworld.cz/sw.nsf/ID/544F220E4153D910C125712000532525

Jak to vypadalo s úrovní geometrie?

Fascinující jsou geometrické úlohy, které byly řešeny již ve druhém tisíciletí. Mezopotamští počtáři počítali obsahy běžných rovinných útvarů (čtverec, obdélník, trojúhelník, rovnoramenný lichoběžník, kruh, pravidelné n-úhelníky). Znali přesné postupy, které dnes vyjadřujeme známými vzorci, užívali však i přibližné výpočty. Přesně počítali objemy běžných těles (krychle, kvádr), přibližně objemy nepravidelných těles (různá koryta, nádrže, okapy apod.), jejich objemy počítali jako součin „průměrného“ obsahu základny a „průměrné“ výšky. Tyto algoritmy opět předváděli na konkrétních číselných příkladech a formulovali je slovně. Velký dojem na člověka znalého historie matematiky dělá použití Pythagorovy a Thaletovy věty více než tisíc let před Thaletem a Pythagorem.

V jaké podobě byla v Mezopotámii známa Pythagorova věta?

Nejprve je třeba zdůraznit, že nemáme žádný doklad o tom, že by Pythagorova věta byla mezopotamskými počtáři zformulována jako obecný poznatek. Známe však řadu úloh, v nichž se hledá délka stran obdélníka, je-li znám jeho obsah a délka úhlopříčky nebo délka úhlopříčky a poměr délek stran apod., úlohy, v nichž se hledá poloměr kružnice opsané rovnostrannému trojúhelníku, výška rovnoramenného trojúhelníka, je-li zadána délka jeho základny a ramene atd. Víme, že mezopotamští počtáři Pythagorovu větu chápali jako vztah mezi délkami odvěsen a přepony pravoúhlého trojúhelníka.
Obdobně můžeme hovořit např. o Thaletově věty. S její pomocí byla např. řešena úloha, v níž se hledá délka tětivy kružnice, je-li známa její vzdálenost od středu a obvod kružnice. Znovu zdůrazněme, že nemáme žádná svědectví o tom, že by byly matematické poznatky formulovány jako věty nebo poučky, nevíme nic o tom, zda byl v Mezopotámii znám exaktní důkaz např. Pythagorovy věty a zda byla vůbec potřeba důkazů matematických tvrzení pociťována.

Nakolik byla mezopotamská matematika abstraktním systémem a nakolik byl tento obor pokládán spíše za pomůcku pro řešení problémů při vyměřování polí?

Mnoho lidí si myslí, že matematika ve starověku byla rozvíjena jen pro potřeby běžného života. To není úplně přesné. Mezopotamští počtáři kladli důraz na algoritmy aplikovatelné v denní praxi (vyměřování polí, výpočet daní, úroků z půjček, obchod, projektování staveb, zavlažovacích kanálů a opevnění), většina dochovaných tabulek ukazuje, že právě tato problematika byla jádrem výuky matematiky na tehdejších školách určených pro písaře, palácové a chrámové úředníky. Řada příkladů však ukazuje, že se matematika rozvíjela i pro svoji vlastní potřebu a krásu. Dochovaly se tabulky s početními úkoly, v nichž jsou zadány údaje, které by se jen velmi špatně zjišťovaly měřením, a hledají se ty hodnoty, jejichž změření či zjištění by nečinilo problémy. Tabulka tzv. pythagorejských trojic, tabulky popisující vlastnosti pravidelných n-úhelníků, tabulky obsahující pokusy o kvadraturu kruhu apod. jasně dokazují, že si matematika v Mezopotámii kladla i vyšší cíle než být pouhým nástrojem pro řešení praktických úloh.

Ale jakýsi zásadní přelom, tj. vnímání matematiky jako oboru, který popisuje svět "ideálních platónských" objektů, v Mezopotámii neproběhl?

Na tuto otázku je velmi těžké přesně odpovědět. Jistý stupeň abstrakce a idealizace objektů musel v Mezopotámii proběhnout, jeho míra však není dostatečně jasná. S řeckou abstrakcí a axiomatizací matematiky, která je podána v Eukleidových Základech (kolem roku 300 př. n. l.), to nelze srovnávat. Řecká matematika měla jiný charakter a jiné cíle.

Zdá se, že důraz na algoritmickou část, tj. na výpočet, spojuje starověkou mezopotamskou matematiku s matematikou arabskou. Ale to je dost neurčitý dojem. Dá se to nějak upřesnit? Jakoby řecká matematika byla spíše o přemýšlení, mezopotamská a arabská o počítání.

Mezopotamská matematika byla výrazně orientována na praktické použití, o její případné teoretické „nadstavbě“ informace nemáme. Řecká matematika naproti tomu vyšla z tradic řecké přírodní filozofie, a proto je její charakter zcela jiný; navázala spíše na matematiku egyptskou než na mezopotamskou. Aby vyřešila svoji velkou krizi (objev nesouměřitelnosti úseček, tj. objev iracionalit, který vedl ke zhroucení zásadní koncepce pythagorejské matematiky), přiklonila se ke geometrii a geometrickému popisu světa. Arabská matematika byla nejvíce ovlivněna matematikou mezopotamskou, řeckou a indickou. Z indické matematiky převzala zápis čísel a algoritmy pro písemné počítání, z řecké matematiky abstraktní geometrii a myšlenku axiomatické výstavby matematiky, z mezopotamského a egyptského světa převzala tradici numericky náročných výpočtů a především důraz na užití matematiky v praktickém životě.

Co z mezopotamské matematiky převzali Řekové?

Na tuto otázku je obtížné odpovědět. Je možné, že mezopotamští počtáři do určité míry řeckou matematiku ovlivnili, větší vliv na ni však měla patrně matematika egyptská. O zdrojích řecké matematiky se ve svých Dějinách zmiňuje již Hérodotos v 5. století př. n. l. Řečtí matematici vytvořili v 6. až 4. století př. n. l. z jednotlivých a izolovaných poznatků ucelený, koncepčně vybudovaný a logicky uspořádaný systém, který se kvalitativně liší od matematiky mezopotamské i egyptské.
Míra inspirace řecké matematiky matematikou egyptskou a mezopotamskou není a asi ani nebude dostatečně objasněna, neboť z prací nejstarších řeckých matematiků se nám dochovaly jen zlomky. Pozdější řečtí matematici se již odvolávají jen na své řecké předchůdce a starší zdroje nezmiňují vůbec.
O mezopotamské a egyptské matematice je možno získat podrobné informace v knize J. Bečvář, M. Bečvářová, H. Vymazalová: Matematika ve starověku. Egypt a Mezopotámie (Prometheus, Praha, 2003), která je první česky psanou knihou, která o této problematice podrobně pojednává…

Plimton 322, asi nejznamejsi mezopotamska matematicka tabulka. pochazi z období 19. -17. stoleti, dnes je ulozena na Yale University. Jeji rozmery jsou 13x9x2 cm, na okrajich i ve vlastni plose je poskozena. Ve 40. letech 20. století byla interpretovana prednimi znalci mezopotamske matematiky (O. Neugebauer a A. Sachs) jako soupis-sbirka 15 pythagorejskych trojic.

autor Pavel Houser