Vezměme libovolné číslo. Pokud je liché, vynásobíme ho 3 a přičteme 1. Pokud je sudé, vydělíme ho 2. Takhle postupujeme neustále. Collatz se domníval, že nakonec vždy dostaneme číslo 1.
Příklad:
3
3 x 3 + 1 = 10
10 / 2 = 5
5 x 3 + 1 = 16
dělením 2 se nyní dostaneme až k číslu 1
Jinak řečeno, i když nás násobení 3 může snadno vést k velkým číslům (to když po vydělení 2 dostaneme liché číslo, další krok povede ke zvětšení čísla, s nímž pracujeme), nakonec při procesu narazíme na mocninu 2.
Pokud si s tím zkusíte trochu hrát, opravdu najdete řadu případů, kdy hodnota ustřelí velmi vysoko, to ale samozřejmě není žádný důkaz neplatnosti domněnky. Ten bychom mohli získat pouze tehdy, pokud bychom v procesu našli cyklus. To ovšem určitě není jednoduché, protože postupem hrubou silou se podařilo zjistit, že až do vstupních čísel v řádu 1018 platí, že na mocninu 2 opravdu časem narazíme. Což však pochopitelně nijak nedokazuje platnost.
Gerhard Opfer z univerzity v Hamburku nyní tvrdí, že se mu domněnku podařilo dokázat. Což je (z laického pohledu) složitější, nestačí najít žádné konkrétní číslo, pro které něco platí.
Jeho důkaz je zde (preprint, PDF), dosud však neprošel oponenturou a může být chybný. Opfer nabídl svůj text časopisu Mathematics of Computation.
New Scientist v této souvislosti uvádí vlastní statistiku, dle které jsou (zajímavé) matematické problémy v průměru vyřešeny po 53 letech.
Zdroj: New Scientist
Viz také: Perlička: Collatzův problém
Mimochodem, zde stojí za pozornost (viz diskuse u článku), že verze problému pro 5x +1 vede k cyklu, u 7x + 1 se najít nepodařil. Ani přirozená čísla nemají vlastnosti, které by (pro nás nematematiky) byly nějak jednoduše uchopitelné.
