Na toto téma již na ScienceWorldu vyšla celá řada článků, viz např. Poincarého hypotéza: Jeden z největších matematických problémů vyřešen?, Henri Poincaré a jeho domněnka
Nicméně následuje pokus o jakousi rekapitulaci. Nejdříve si představme oblíbenou metaforu, dvourozměrné kaňky pohybující se na povrchu koule. Jak mohou kaňky poznat, že jejich svět je právě povrchem koule? Jistě, mohou různě měřit úhly v trojúhelnících, jenže – jejich prostor může být různě lokálně zakřiven a deformován. Metrika se lokálně může různě měnit, v této úloze jde o topologii (obvyklé přirovnání zní, že v topologii lze cokoliv natahovat či mačkat, ale nikoliv stříhat).
Čili jak mohou naše kaňky poznat, že se nacházejí na povrchu koule (nebo elipsoidu apod., to je topologicky jedno)? Tak, že povrch koule je uzavřený. Když vyrazí nějakým směrem po přímce (přímce ze svého pohledu), dorazí zase výchozí na místo. Jenže z toho se nedá vyvodit, že jde o povrch koule, protože podobě uzavřený je např. toroid. (na toto téma viz např. Jak lze uvažovat o tvaru Země)
V Poincarého domněnce na tomto místě vstupuje do hry otázka smyček. Jak můžeme poznat, jsme-li na povrchu koule nebo toroidu? Půjdeme-li po povrchu koule a potáhneme za sebou nit, po návratu na původní místo dokážeme vždy příslušnou „smyčku“ stáhnout do jediného bodu. Na povrchu toroidu to vždy možné nebude, respektive ne v rámci příslušného „prostoru“. (Když obejdeme celý prstenec, ať tak či onak, smyčku nestáhneme).
Nu a nyní: Jsme-li kaňky, které se cestou po „přímce“ vždy vrátí na původní místo, a současně všechny smyčky vytvořené uzavřenými cestami půjdou stáhnout, znamená to, že jsme (topologicky) na povrchu koule?
Ano, to se podařilo dokázat již celkem záhy. Poincarého domněnka se týká tohoto problému o rozměr výše, tedy jde o 3D sféru. Pokud se po jakékoliv přímce vrátíme do výchozího a všechny smyčky půjdou stáhnout, znamená to, že jde o „povrch“ 3D sféry? Důkaz Poincarého domněnky dává kladnou odpověď i na tuto otázku. Stáhneme-li všechny smyčky, jsme na něčem jako 3D sféra (opět topologicky, samotná metrika může být různá).
Existuje např. představa topologie vesmíru jako dvanáctistěnu (Proč je vesmír dvanáctistěnem?), kde jsou protilehlé stěny se sebou ztotožněné. Zde se ale všechny smyčky postahovat nedají, jakkoliv vesmír by i v tomto případě byl do sebe uzavřený. Postahovat smyčky nepůjde ani na toroidu ve 3D, ani třeba u krychle, kde ztotožníme protilehlé stěny.
Za současných podmínek je samozřejmě naprosto iluzorní provést pokus, který by o topologii vesmíru dokázal rozhodnout, nicméně je pěkné, že víme, jak by v principu takový experiment mohl vypadat…
Zdroj: Donald O Shea: Poincarého domněnka, Academia, Praha 2009
