Úlohy o prvočíslech jsou pro nás matematické laiky fascinující tím, že obvykle alespoň porozumíme samotné otázce. (Což tedy neznamená, že z řešení porozumíme něčemu jinému než závěru, a už vůbec ne, že bychom měli šanci s nějakým řešením přijít sami. Možné, a opět fascinující je i to, že některé věty ani třeba řešení nemají – člověk by nečekal, že na nerozhodnutelnost může narazit zrovna tady.)
Takže samotná úloha. Jak víme, prvočísel je nekonečno, nicméně jejich frekvence se stále snižuje. Vezměme si tedy posloupnost (respektive řadu – součet posloupnosti) 1/p, tedy 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11…
Konverguje, nebo diverguje? Víme, že geometrická řada 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 konverguje, otázka tedy zní, jak rychle prvočísel na číselné ose ubývá, jak jsou hustá. To se celkem ví (viz Riemannova hypotéza apod.), známe tedy i odpověď – řada diverguje.
Teď si vezměme řadu ze součtů převrácených hodnot prvočíselných dvojic, tedy prvočísel lišících se o 2: (1/3 + 1/5) + (1/5 + 1/7) + (1/11 + 1/13)… Jak známo, o prvočíselných dvojicích nevíme, zda jich je nekonečno, respektive to nikdo nedokázal, byť se to spíše předpokládá. Pokud jich je konečný počet, pak řada nutně konverguje. Je-li jich nekonečně, pak… nevíme. Respektive úplně laicky se zdá, že i pak budou na ose hodně řídká – v porovnání s konvergující geometrickou řadou – ale to je jen krajně vágní pocit. Když ani nevíme, zda jich je nekonečno, můžeme něco říci o jejich hustotě?
Kupodivu ano. Norský matematik Viggo Brun roku 1919 dokázal nejen to, že řada konverguje, ale i k jaké konkrétní hodnotě: 1,902160… (číslo je stále zpřesňováno). Samozřejmě důkazem se myslí něco jiného, než že Brun sčítal, a usoudil, že výsledek se už moc nemění (mnohé divergující řady rostou velmi pomalu). A kupodivu podruhé převráceně, tento výsledek však neodpovídá na otázku, zda je prvočíselných dvojic nekonečně mnoho.
Laikovi nezbývá než žasnout.
Tento text je úryvkem z knihy:
Clifford A. Pickover: Matematická kniha – Od Pythagora po 57. dimenzi: 250 milníků v dějinách matematiky
Argo a Dokořán 2012
O knize na stránkách vydavatele
Poznámka: (u začátku řady dvojic je dvojí výskyt 1/5 lhostejný, respektive jen posune samotnou hodnotu výsledku; žádné další prvočíslo už nemůže být součástí dvojice zdola i shora, další prvočísla jsou poskládána kolem násobků 6)
