Mnoha lidem, kteří se učí vyšší matematiku, se stává, že dojdou na konec nějakého důkazu a pomyslí si: "Sice jsem pochopil, jak každý řádek plyne z předchozího, ale nejsem ani o kousek moudřejší, proč ta věta vlastně platí nebo jak to někdo mohl vůbec vymyslet.“ Od důkazu chceme zpravidla víc, než aby jen zaručoval pravdivost tvrzení. Po přečtení dobrého důkazu máme pocit, že dokazovanou větu vysvětluje, že teď rozumíme něčemu, čemu jsme předtím nerozuměli.
Dláždění čtvercové mřížky s vynechanými rohy
Tohle je známý hlavolam. Máme mřížku 8 * 8 čtverečků, z níž jsou odebrány dva protilehlé rohy. Můžeme všechny zbylé čtverečky zaplnit dlaždičkami tvaru dominových kostek, z nichž žádné dvě se nepřekrývají a každá zabere přesně dva sousední čtverečky mřížky? Když místo mřížky 8 * 8 uvažujeme mřížku 4 * 4, můžeme neexistenci takového pokrytí nahlédnout podle obrázku.
Nejdřív předpokládejme, že jsme umístili dlaždičku do polohy označené A. Je snadno vidět, že potom jsme nuceni dát dlaždičky i na pozice B, C, D a E a tím ponechat čtvereček, který už pokrýt nelze. Poněvadž pravý horní čtvereček nějak zaplnit musíme, a jediný možný další způsob pokrytí vede k podobným problémům (ze symetrie), celou mřížku vydláždit nejde.
Když nahradíme čtyřku pětkou, dláždění stále neexistuje, tentokrát z jednoduchého důvodu, že každá dlaždička pokryje dva čtverečky a celkem se má pokrýt čtverečků 23, tedy lichý počet. Ale 8 na 2 – 2 = 62 je sudé číslo, takže pro mřížku 8 * 8 tento jednoduchý nápad použít nemůžeme. A když se pokusíte najít důkaz podobný tomu, jenž jsem vysvětlil pro mřížku 4*4, brzy to vzdáte, protože by bylo potřeba uvážit příliš mnoho případů. Co tedy s tím? Pokud jste se s tímto problémem dosud nesetkali, velice doporučuji, abyste ho zkusili sami vyřešit, než budete číst další odstavec. Když se vám to totiž podaří, budete mít dobrou představu o pocitu radosti z matematiky.
Pro ty, kteří se mým doporučením řídit nebudou — zkušenost ukazuje, že takových bude většina — dodám jediné slovo, které v sobě skoro celý důkaz skrývá: šachy. Šachovnice je mřížka 8 * 8, jejíž čtverečky jsou obarveny střídavě černě a bíle (což je pro hru samotnou zbytečné, ale usnadňuje to její vizuální vnímání). Dva protilehlé rohy budou mít tutéž barvu. Můžeme předpokládat, že jsou oba černé, takže když je odstraníme, bude ořezaná šachovnice mít 32 bílých políček a jenom 30 černých. Každá dominová kostička pokryje jedno bílé políčko a jedno černé, a tudíž po umístění 30 kostiček, ať už je rozložíme jakkoliv, nám zbudou dvě bílá políčka, která pokrýt nedokážeme.
Tento postup hezky ilustruje, jak matematický důkaz může nabídnout víc než jen záruku pravdivosti tvrzení. Například nyní máme dva důkazy faktu, že mřížka 4 * 4 po odebrání protilehlých rohů nejde vydláždit. Jeden je ten, který jsem uvedl jako první, a druhý je verze úvahy se šachovnicí pro 4 * 4. Oba dokazují, co potřebujeme, ale jen ten druhý nám dává něco jako DUVOD, proč je vydláždění nemožné. Týž důvod nás okamžitě přesvědčí, že dláždění je nemožné i pro mřížku deset tisíc krát deset tisíc s odebranými protilehlými rohy, kdežto první důkaz vypovídá výlučně o případu 4 * 4.
Na druhém důkazu je pozoruhodné, že je založen na myšlence, která je sice nečekaná, ale jakmile jí porozumíme, zdá se velmi přirozená. Lidé často nechápou, jak mohou matematici popisovat nějaký důkaz jako „elegantní“, „krásný“ nebo dokonce „vtipný“, ale zmíněný příklad naznačuje, co tím asi myslí.
Tento text je úryvkem z knihy:
Tim Gowers: Matematika – průvodce pro každého
podrobnosti o knize http://www.dokoran.cz/index.php?Matematika&p=book.php&id=246
Anotace:
Matematiku v té či oné podobě každý z nás denně používá, přesto však paradoxně v řadě lidí budí strach či odpor. Timothy Gowers, profesor matematiky na univerzitě v Cambridge a nositel Fieldovy medaile (matematická obdoba Nobelovy ceny), ve své knize ukazuje hlavní rozdíly mezi matematikou, jak ji dělají profesionálové, a tím, co se vyučuje ve školách. Autor postupně čtenáři představí tvorbu matematických modelů, pojetí čísel, principy matematické abstrakce, podstatu matematického důkazu, limity, pojetí nekonečna a základy geometrie. V této knize se mj. dozvíte: – Jak dokázat iracionalitu zlatého řezu – Proč je v matematice tak málo žen – Jak se naučit manipulovat s mnohorozměrnými objekty – Zda slavné matematické problémy mohou vyřešit amatéři.
