Student World

Kurt Gödel je díky svým větám o nerozhodnutelnosti vnímán jako podpora pro relativismy všeho druhu. Zajímavé je, že Gödel se přitom naopak snažil o rehabilitaci samotného pojmu objektivní matematické pravdy.

To, co Gödel udělal především, je rozlišení pravdivosti a dokazatelnosti. Do té doby se obě tyto vlastnosti pokládaly za ekvivalentní. Je-li nějaké tvrzení dokazatelné, bylo to chápáno jako tautologie pravdivosti. Jinak nějaká "objektivní pravdivost" mimo systém tehdejší matematiky příliš nezajímala.
Od Godelových objevů se však ví, že ve formálních systémech jisté síly/složitosti existují (formálně) nerozhodnutelná tvrzení. Určitý výrok je v rámci systému nedokazatelný/nerozhodnutelný, to ale nijak nebrání v tom, aby byl např. pravdivý. Jeho pravdivost však odhalíme spíše mimo systém (např. právě u výroku "tento výrok je [v systému XY] nedokazatelný" můžeme při pohledu zvenku ihned říci, že je pravdivý).

Nedokazatelná je – mimochodem – samozřejmě také negace výše uvedeného výroku. Protože původní výrok je pravdivý, není na nedokazatelnosti jeho negace nic zvláštního (naopak by bylo špatné, kdyby tato negace šla dokázat; pokud lze v systému dokázat jeden nepravdivý výrok, lze v něm už dokázat výrok jakýkoliv a systém není konzistentní; v Hilbertově formalistickém programu dokonce platilo, že systém je konzistentní právě tehdy, pokud v něm existuje alespoň jedno nevyvoditelné tvrzení.)

Zpět ke Gödelovi. V předchozím textu jsme viděli, že některá tvrzení nelze formálně rozhodnout, nicméně my řešení "známe" – přičemž může být dokonce velmi snadné. Gödel zastával řadu platónských tezí (na jeho platonismus dobře ukazuje např. kniha Filosofické eseje – http://www.scienceworld.cz/sw.nsf/ID/4F8F1C34DABBD697C1256E970048FB53?OpenDocument&cast=1) a zřejmě by souhlasil i s některými pojetí Rogera Penrose, podle kterého matematické pravdy existují v jakémsi ideálním světě, lidská mysl k nim však má nějakým záhadným způsobem bezprostřední ("nealgoritmický") přístup. Godel v tomto ohledu zašel dokonce ještě dál než Penrose a použil pro skladiště matematických pravd dokonce použil výrazu "kosmická mysl".

Gödelovy věty vyvolaly velké množství chybným výkladů a komentářů (tento článek může být klidně dalším v pořadí :-)). De facto jej nepochopili Russell ani Wittgenstein.
Gödelův důkaz neříká např. nic o tom, zda člověk je či není počítač, ani nedokazuje nekonzistenci aritmetiky (spíše jde o to, že konzistenci určitých systémů nebudeme moci nikdy dokázat formálními prostředky).

Relevantní je snad poznatek, který několik let po Gödelovi zjistil G. Gentzen. Konzistenci i úplnost aritmetiky lze dokázat, pokud do ní připustíme nejenom tzv. finitní kroky, ale i zobecněnou metodu matematické indukce. (v podstatě dokazujeme, že z n-tého kroku plyne pravdivost n+1-kroku, takže dokážeme určitou vlastnost všech prvků uspořádaných množin). Ale ani pak se popsaným problémům tak docela vyhnout nedokážeme…

Fakt, že nelze dokázat konzistenci určitých systémů, má nicméně ještě několik zajímavých důsledků. Mj. z toto údajně vyplývá jako ekvivalentní následující tvrzení: O programu řešícím určitou úlohu nelze rozhodnout, zda je nejkratší možný. To už může mít i významné důsledky pro jiné vědní obory. Např. zřejmě nikdy nedokážeme, že nějaká "teorie všeho" je opravdu tím nejúspornějším možným popisem reality a žádná další komprese není možná.

Zdroj: John D. Barrow: Pí na nebesích, Mladá fronta, Praha, 2000

autor Pavel Houser