Včera jsme se na Science Worldu dostali k zamyšlení nad tím, proč jsou matematické konstanty ve fyzikálních vzorcích řádově jednotkové. John Barrow zmiňuje, že tímto problémem za zabýval už Einstein, pokládal ho však za vedlejší v porovnání s konstantami "fyzikálními". A jaký pokus o odpověď předkládá Barrow?
(včerejčí článek viz http://www.scienceworld.cz/sw.nsf/ID/1D0E7867F297234CC1257082006FCF52)
"Matematické" konstanty se do fyzikálních vzorců dostanou zpravidla v důsledku geometrických vztahů. Objem krychle je 1krát A na 3, objem koule 4/3Pi R na 3. Koule a krychle jsou v 3D prostoru symetrickými objekty, podobně fyzikální zákony jsou de facto symetrické k volbě směru. Proto – tak zní dosud poměrně vágní úvaha – budou konstanty ve fyzikálních zákonech odpovídat symetrickým útvarům.
Zajímavé to začne být v prostoru o jiném počtu dimenzí. Povrch a objem vícerozměrné "koule" samozřejmě stále odpovídají počtu dimenzí (jsou přímo úměrné N-1, respektive N), numerický faktor-konstanta úměrnosti se však bude rychle měnit. Hodnota odpovídající ve vzorci pro výpočet objemu 4/3 Pí nejprve vzroste, pak však bude velmi rychle klesat (rychleji než geometrickou řadou, údajně jako N na N). V 20dimenzionálním prostoru už nebude konstanta řádově jedna, ale číslo mnohem menší. Při pokusu o řádový odhad výsledku bychom ji nemohli vůbec zanedbávat. Einstein by se pak mohl divit, proč mají matematické konstanty ve vzorcích tak extrémní hodnoty (takže zastíní dokonce i "fyzikální" konstanty).
Zdroj: John D. Barrow: Konstanty přírody, Paseka, Praha, 2005
Poznámka: Argument se zdá být trochu prchavý a ne zcela přesvědčivý. V knize (českém vydání) se také ohledně "geometrických" konstant ve vícerozměrném prostoru vyskytují bohužel dokonce i určité kontradikce. Příslušné vzorečky lze najít např. na http://thinkzone.wlonk.com/MathFun/Dimens.htm (jsme-li pro vzorečky pro objem líní integrovat vždy "povrch" útvaru o dimenzi nižší), podrobnější odvození na http://www.math.msu.edu/~spiro/teaching/hypersphere.pdf. Ať tak či onak, kde je ve 3D pro výpočet objemu hodnota 4/3Pi (=cca 4,2), tak je pro 12D hodnota 0,9. Pro "rozumný" (rozumně velký) počet dimenzí tedy geometrické konstanty ještě neulítávají.
