Student World

***opět jeden článek  publikovaný již před cca 5 lety

Pátrání po nových mnohostěnech ovšem skončilo v okamžiku, kdy se podařilo dokázat, že kromě 5 známých těles (krychle, čtyřstěn, osmistěn, dvanáctistěn a dvacetistěn) jich už více nemůže existovat.

Jak vypadá důkaz tohoto tvrzení podle Eukleida?
Nejdříve je třeba si představit situaci u vrcholu mnohostěnu. Průmět mnohostěnu do roviny dává 360 stupňů, ve 3D ale musejí stěny u vrcholu svírat dohromady menší úhel (aby „směřovaly“ k protilehlému vrcholu).
Za další, u každého vrcholu mnohostěnu se musejí sbíhat alespoň 3 stěny – ze dvou plošek nelze vytvořit 3D těleso, museli bychom je ohýbat (nebo lepit na sebe – pak bychom ale opět dostali rovinu).
Pokud stěny našeho pravidelného mnohostěnu představují rovnostranné trojúhelníky (úhel 60 stupňů), pak se v každém vrcholu mohou sbíhat buď 3, nebo 4 nebo 5 stěn (součty úhlů u vrcholů pak budou 180, 240 nebo 300 stupňů). 6 sbíhajících se stěn už nevyhovuje podmínce „menší než 360″.
V mnohostěnu se čtvercovými stěnami (90 stupňů) vyhovuje našim podmínkám pouze útvar se třemi stěnami u vrcholu (3 * 90 = 270). U stěn tvořených pravidelným pětiúhelníkem (108 stupňů) vycházejí jako povolené také pouze 3 stěny u každého vrcholu (3 * 108 = 324). V pravidelném šestiúhelníku je vnitřní úhel roven 120 stupňům, takže se už do naší podmínky nevejdeme ani jednou (3 * 120 = 360) a totéž platí i pro pravidelné mnohoúhelníky s větším počtem stěn.
Z toho vyplývá, že více než 5 pravidelných mnohostěnů výše uvedených vlastností nemůže ve 3D prostoru existovat.

(Zdroj: Keith Devlin: Jazyk matematiky, Dokořán, Praha, 2003)

Poznámka: Zajímavé na našem důkazu je, že jsme dokázali marnost hledání dalších mnohostěnů. Dokázali jsme ale současně, že všech 5 „možných“ současně existovat _musí_? Otázka: Pokud bychom také neznali konkrétní mnohostěny, umožní nám uvedený postup zjistit, že např. útvar, kde se bude v každém vrcholu sbíhat 6 trojúhelníkových stěn, bude celkově vypadat jako dvacetistěn, nebo že při sbíhání 3 pětiúhelníkových stěn dostaneme 12stěn?

autor Pavel Houser