Student World

***pravidelné páteční „přetištění“ staršího článku

Otázka, kterou zkoumáme, je, jaká je pravděpodobnost, že se chodec dostane do libovolného bodu přímky. Odpověď je, že tomu nic nebrání, a to ani pro body libovolně vzdálené od výchozího startu. Nakonec – máme-li k dispozici nekonečné množství času, pak se vyskytne každá sekvence hodů, tedy i série N hlav za sebou. V nekonečném čase se částice dokonce do libovolného bodu nekonečněkrát vrátí (i když paradoxně i průměrný čas návratu do téhož bodu je opět nekonečný).
Teď analogický problém pro 2D: hážeme něčím, co má 4 možnosti a pravděpodobnost každé z nich 1/4 (což může být 4stěnná kostka, nebo 2 hody mincí). Podle hodu vyrazí turista na jednu ze 4 světových stran. Jaká je pravděpodobnost, že nakonec navštíví libovolný bod v rovině? Opět rovna 1, nakonec projdeme všechny body mapy.
A ve 3D? Hážeme tentokrát šestistěnnou kostkou, přibývá nám směr nahoru a dolů. Situace je náhle odlišná. Existuje pravděpodobnost 0,65, že do daného bodu nikdy znovu nepřijdeme.

Na pohled na takovém výsledku není nic tak zvláštního, protože při hrátkách s nekonečny se lze zkrátka dočkat lecčeho. Podivnost výsledku ovšem vyplývá z několika důvodů:
Uspořádaných bodů, n-tic, na přímce, v rovině i krychli je stejně (všechno jsou to spočetné množiny).
„Kam jít“ se dá simulovat vždy hody mincí se 2 stranami. Tudíž se na pohled zdá, že jakýkoliv krok ve 3D si lze představit jako sekvenci kroků ve 2D nebo 1D a jednotlivé případy jsou na sebe převoditelné/zobrazitelné. Výsledek ovšem říká něco jiného, kde se však bere ten přelom mezi 2D a 3D, který turistu pravděpodobně odvede jinam, to na první pohled vidět není…

Zdroj: Ian Stewart: Odsud až do nekonečna, Argo a Dokořán, Praha 2006
http://www.dokoran.cz/index.php?Odsud_az_do_nekonecna&p=book.php&id=272
Překlad Helena Nyklová, 368 stran, 30 ilustrací, 349 Kč, Argo a Dokořán, Praha 2006

autor Pavel Houser