Student World

Pro Pythágora bylo číslo nejen měřítkem, ale přímo základem všech věcí. Řecká matematika byla proto velmi zklamána skutečností, že některé délky a poměry nejdou jako racionální číslo vyjádřit. Tak už jen poměr mezi úhlopříčkou a stranou čtverce byl roven odmocnině ze 2. Pythágoras však zřejmě překonal své zklamání a dokonce sám jako první dokázal, že SQR 2 není racionálním číslem.

Důkaz je proveden sporem a dodnes se nachází v učebnicích. Vypadá zhruba následujícím způsobem:

SQR 2 je racionální číslo (tj. zlomek)
SQR 2 = A/B

umocníme obě strany
2 = (A/B) exp 2

upravíme
A exp 2 = 2 * B exp 2

B exp 2 je dělitelné dvěma, A exp 2 je tudíž sudé
pokud je A exp 2 sudé, pak je také A sudé
je-li A sudé, lze vyjádřit jako 2C

(2C) exp 2 = 2B exp 2
4C exp 2 = 2B exp 2
2C exp 2 = B exp 2

B exp 2 je sudé
B je sudé

A i B jsou sudá čísla
A/B tedy má společného dělitele(číslo 2), což ovšem základní vyjádření zlomku mít nesmí (šlo by vykrátit tímto dělitelem). Pro nový zlomek ovšem dokážeme snadno totéž, tj. ani on nebude nadále nekrátitelný.
Dokázali jsme tedy vlastně, že neexistuje žádný "základní" zlomek, kterým by šla vyjádřit odmocnina ze dvou.

Tento důkaz, podobně jako třeba Eukleidova věta o nekonečném počtu prvočísel, se pokládají za doklad trvalosti starořecké matematiky, faktu, že se zde poprvé mluví "dnešním jazykem". Někteří moderní matematici pokládají dokonce starověkou algebru a geometrii za největší přínos tohoto období a poněkud jedovatě dodávají, že řecké matematice jsme dnes schopni stále dokonale rozumět – na rozdíl od antického dramatu či filosofie :-). Něco podobného ovšem tvrdí i lingvisté, když za největší a nejtrvanlivější přínos řeckého myšlení pokládají Platónův jazykovědný dialog Kratylos.

Nicméně zpět k našemu důkazu o iracionálnosti odmocniny ze dvou. Hrál jsem si s tímto důkazem dál – zcela analogicky dokážete, že racionálním číslem není odmocnina ze 3. Vnucuje se temné podezření, jak to dopadne u SQR 4.
Dostaneme při pokusu o důkaz sporem vztah

A exp 2 = 4 B exp 2
A exp 2 tedy musí být dělitelné 4. Z toho však nyní nelze vyvodit, že také A je dělitelné 4. Stačí, aby A bylo dělitelné 2. (např. 6 exp 2 = 36, což je dělitelné 4, ovšem 6 není dělitelné 4)
Jinak řečeno, vychází nám, že jde o dělitelnost a tedy o celá čísla – pokud odmocninou z celého čísla není číslo celé, nebude to ani číslo racionální. Což lze opět dokázat sporem – X * X s nenulovými místy za desetinnou čárkou nemůže dát celé číslo Y – neexistují dvě stejné číslice, které po vynásobení dají číslo končící nulou – respektive pouze v "neregulérním" případě typu 0 * 0, tj.opět číslo celé.

autor Pavel Houser