Slovník, který obsahuje sám sebe
Banachův-Tarského paradox je hezkým příkladem situace, kdy se závěry matematiky vzpírají zdravému rozumu. Podle tohoto paradoxu lze totiž rozřezat kouli na jednotlivé kusy a z nich zase složit – tentokrát ovšem dvě koule téže velikosti, jakou měla ta původní.
Sdílet
pravidelné páteční „přetištění“ staršího článku
Samozřejmě, že kusy, na které je třeba kouli rozřezat, budou muset být poněkud „divné“; důležité ale je, že vystačíme s končeným počtem takovýhle kusů (kdyby jich bylo nekonečně, tak by nám to zase tak divné nepřišlo, asi podle vzoru, že sudých čísel je stejně jako celých) . Problémem se zabývala řada slavných matematiků, mj. John von Neumann; podle posledních výsledků je počet potřebných kusů dokonce jen 5.
Známý popularizátor matematiky Ian Stewart tento paradox trochu přibližuje, když ukazuje, jak podobný trik namísto s koulí můžeme provést s (ovšem nekonečným) slovníkem.
Vezmeme si něco na způsob Borgesovy Babylonské knihovny, tedy slovník (Stewart mu říká Hyperwebster; je to ovšem nikoliv slovník slov, ale seznam řetězců, i těch, které nic neznamenají) obsahující postupně řetězce, A, AA až se o nekonečně slov později dojde k AB.
Teď tento slovník rozřežeme na tolik kusů, kolik je znaků naší abecedy – v Stewartově případě 26, protože příklad vysvětluje na anglické abecedě – a to tak, že příslušný „kus“ slovníku bude vždy obsahovat slova začínající stejným písmenem.
Teď si vezměme třeba díl začínající písmenem B. Začíná takto: B, BA BAA… Pokud nějak ošetříme osamělé B na začátku, vidíme, že tento „díl“ bude obsahovat veškerá slova slovníku původního ve stejném pořadí, pouze před každé z nich je předřazeno B (obou z nich je tedy stejně). Totéž bude platit pro každý z dalších dílů našeho slovníku. Z jednoho slovníku jsme dostali 26 dílů, z nichž ale všechny obsahují slovník celý.
Zdroj: Ian Stewart: Odsud až do nekonečna, Argo a Dokořán, Praha 2006
Poznámka: Stewartův výklad ovšem paradox s rozřezáním koule tak docela neosvětluje, protože jeho slovník je nekonečný. Nakonec bychom stejný příklad mohli zformulovat pro celá čísla, kde bychom na něm neshledali nic zvlášť divného (množina celých čísel začínajících na 2 v sobě bude také „obsahovat“ všechna celá čísla).
Komentáře
27.07.2014, 06:45
.... ñïñ çà èíôó!...
27.01.2014, 13:25 ludolf
Slovník, nekonečna
U koule se postupuje tak, že se vezmou 3 speciální rotace, které se mohou libovolněkrát skládat - to tedy odpovídá slovníku ze 3 písmen a rozklad pak funguje analogicky jako pro slovník. Tím dostaneme konečný rozklad pro množinu, která vznikne tak, že vezmeme nějaký bod koule a jeho obrazy ve všech složeních daných rotací. Axiom výběru se použije pro to, abychom z každé takovéto množiny vybrali jeden prvek. Tím dostaneme podmnožinu koule, která je disjunktní se všemi svými uvažovanými obrazy (ve výsledku pak bereme sjednocení obrazů této množiny podle "slovníkového" rozkladu). To je nástin principu, je to trochu složitější - například ve slovníku se uvažují jenom některá slova, musí se zvlášť ošetřit některé speciální případy...
01.12.2012, 17:13 1010100
Re: Re: Re: Slovník
To právě vím, že části koule se nenafukují, problém je v tom, že části slovníku se nafukují. Říkáme tomu uříznutí prvního písmena, ale ve skutečnosti... Ta analogie tady trochu kulhá. _ Pokud jde o mé vlastní problémy s přidáváním příspěvků, zřejmě byly způsobeny vynecháním titulku. Příspěvek pak jde do háje, místo aby zůstal na místě a objevilo se varování, titulek nesmí být prázdný.
25.11.2012, 12:58 robos
Re: Re: Slovník
Celý trik u slovníku i u koule je přece postaven na tom, že pokud z nekonečného množství odebereme libovolný počet prvků, zůstane nám zase nekonečné množství prvků. A to jak u slovníku, tak i u bodů z který je složena koule.
25.11.2012, 12:54 robos
Re: Re: Slovník
To přece nic nepopírá. Množství písmen v původním slovníku je totožné s "množstvím" "bodů" v řezu koule. Rozřezání slovníku na M nových slovníků je operace analogická s rozřezáním koule na N nových koulí. Žádný díl koule se nenafukuje. Jen se pomocí afiních transformací (translace, rotace, ...) přemístí a znovu složí. Slovník je potřeba taky rozdělit na N dílů (podle počátečních písmen) a pak je "řezat" podle prvního písmene.
24.11.2012, 09:39 1010100
Re: Slovník
To s tím slovníkem funguje tak, že rozdělíme slovník na menší slovníky, ty nějak přeškálujeme (u slovníku stačí utrhnout první písmena) a ty přeškálované slovníky jsou pak stejné jako ten původní. U koule se nemluví o tom, že by se těch pět dílů mělo nějak nafukovat.
23.11.2012, 19:53 robos
Slovník
Podle mého názoru, je podobnost mezi nekonečným slovníkem a BT paradoxem velká. Tvary "řezů" koule musí mít z principu fraktální charakter a i když pomineme hodnotu fraktální dimenze řezu (podle mého odhadu bude "řez" pokrývat celý objem koule), mělo by tedy být možné definovat vhodné bijektivní zobrazení mezi slovy v nekonečném slovníku a body určujících fraktální strukturu řezů. I nekonečné opakování transformace, je u nekonečného slovníku a koule obdobné, stejně jako lze slovníky rozmnožovat donekonečna, lze i koule rozmnožovat donekonečna a to jen prostým opakováním té samé transformace. To že počet symbolů v slovníku v případě koule neodpovídá počtu výsledných kopií, lze např. vyřešit tak, že na N té pozici slovníku v každém dílu by bylo povoleno použití jen dvou z pěti možných symbolů slovníku.
Napsat vlastní komentář
Pro přidání příspěvku do diskuze se prosím přihlašte v pravém horním rohu, nebo se prosím nejprve registrujte.