Diofantické rovnice dostaly svůj název po řeckém matematikovi Diofantovi ze 3. století n. l. Jsou vytvořeny z konečného počtu neznámých, celočíselných koeficientů a pouze s využitím operací sčítání a násobení. Například a^3 – 3ab + 2cb^3 = d^8 je diofantická rovnice.
Obvykle se zajímáme o řešení těchto rovnic v oboru nenulových přirozených čísel 1, 2, 3, … Diofantické jsou například všechny rovnice a^3 + b^3 = c^3, a^4 + b^4 = c^4, a^5 + b^5 = c^5 …, o kterých Velká Fermatova věta tvrdí, že jsou neřešitelné (zde). Naopak, diofantická rovnice a^2 + b^2 = c^2 má nekonečně mnoho řešení v podobě tzv. pythagorejských trojic (zde).
Zkoumání diofantických rovnic je těžké, napínavé a bohaté na nečekané zvraty. Tak například v 18. století se L. Euler domníval, že pokud chceme čtvrtou mocninu nějakého čísla vyjádřit jako součet jiných čtvrtých mocnin, potřebujeme minimálně čtyři sčítance. Tuto hypotézu vyvrátil až v roce 1987 student Harvardské univerzity N. Elkies, když našel řešení rovnice a^4 + b^4 + c^4 = d^4 (konkrétně viz Wolfram MathWorld). Pro rovnici se čtyřmi sčítanci a^4 + b^4 + c^4 + d^4 = e^4 byla řešení nacházena postupně, donedávna jich bylo známo 88. Letos v březnu matematik D. J. Madden a fyzik v důchodu L. W. Jacobi uveřejnili složitý důkaz, že tato rovnice má dokonce nekonečně mnoho řešení (Eurekalert).
Diofantické rovnice jsou sice poměrně transparentní (je to vlastně školní počítání), přesto zahrnují i extrémně obtížné problémy matematiky, které se primárně netýkají přirozených čísel. Je překvapující, že například slavnou větu o čtyřech barvách dokázanou po nesmírném úsilí v 70. letech (zde) nebo dosud důkazu či vyvrácení odolávající Riemannovu hypotézu (zde) lze přeformulovat jako tvrzení o řešitelnosti diofantické rovnice.
Již téměř čtyři desetiletí víme, že neexistuje obecný algoritmus, který by o libovolné diofantické rovnici rozhodl, zda má či nemá řešení (jde o odpověď na slavný desátý Hilbertův problém přednesený v roce 1900). Jinak řečeno, neexistuje počítačový program, který by po zadání libovolné diofantické rovnice na jeho vstup vždy po konečném výpočtu jednoznačně a správně na výstupu napsal ANO či NE ohledně její řešitelnosti.
Matematici při dokazování vět vychází z jednoduchých tvrzení (axiomů), která se zdají být evidentně pravdivá. Na základě přesně definovaných odvozovacích pravidel, která se rovněž zdají být spolehlivá, pak z těchto axiomů vyvozují nová a nová tvrzení. V důsledku slavného Goedelova výsledku z roku 1930 o neúplnosti aritmetiky (všechny dostatečně složité formální systémy jsou buď sporné, nebo neúplné) můžeme zkonstruovat diofantickou rovnici, která má podivuhodné vlastnosti. Nastane totiž právě jedna z následujících situací:
1. Lze dokázat, že tato rovnice nemá řešení a zároveň lze dokázat, že tato rovnice má řešení (třeba prostým dosazením).
2. Nelze dokázat, že tato rovnice má řešení, ani nelze dokázat, že tato rovnice nemá řešení.
První případ by znamenal, že současná matematika je sporná, druhý případ by znamenal, že současná matematika je neúplná (tedy lze v ní formulovat nerozhodnutelné tvrzení o řešitelnosti diofantické rovnice). Většina matematiků věří, že nastává druhý případ. Proto také tvrdí, že tato diofantická rovnice nemá řešení (jinak by její řešitelnost šla dokázat prostým dosazením tohoto řešení a druhý případ, jemuž věří, by nemohl nastat), ale přitom nejsme schopni to dokázat. Tento přístup viz také článek Godelova věta jako pomůcka pro matematické důkazy
Nevíme, který z obou případů odpovídá skutečnosti. Paradoxně je dokonce snadnější potvrdit první případ (samozřejmě pokud nastává) – tedy vyvrátit víru v bezespornost matematiky. Je snadnější ukázat, že něco je, zde konkrétně předložit dva rozporné důkazy, než že něco není. Pokud však důkaz sporu existuje, je pravděpodobně astronomicky dlouhý a není v lidských silách se ho dopátrat…
Zbývá dodat, že dalším obohacováním matematiky o nové axiomy a prostředky dokazování tato věčná nejistota nezmizí. Přidáme-li například axiom „Tato diofantická rovnice nemá řešení“, bude možné sestavit jinou diofantickou rovnici (je jich dokonce vždy nekonečně mnoho), pro kterou opět platí buď případ 1, nebo případ 2.
